Question

【題目】我們知道，經過原點的拋物線的解析式可以是y=ax2+bx（a≠0）
（1）對于這樣的拋物線：
當頂點坐標為（1，1）時，a=；
當頂點坐標為（m，m），m≠0時，a與m之間的關系式是
（2）繼續探究，如果b≠0，且過原點的拋物線頂點在直線y=kx（k≠0）上，請用含k的代數式表示b；
（3）現有一組過原點的拋物線，頂點A1 ， A2 ， …，An在直線y=x上，橫坐標依次為1，2，…，n（為正整數，且n≤12），分別過每個頂點作x軸的垂線，垂足記為B1 ， B2 ， …，Bn ， 以線段AnBn為邊向右作正方形AnBnCnDn ， 若這組拋物線中有一條經過Dn ， 求所有滿足條件的正方形邊長．

Answer 1

【答案】
（1）﹣1；a=﹣ 或am+1=0
（2）

解：∵a≠0，

∴y=ax2+bx=a（x+ ）2﹣ ，

∴頂點坐標是（﹣ ，﹣ ）．

又∵該頂點在直線y=kx（k≠0）上，

∴k（﹣ ）=﹣ ．

∵b≠0，

∴b=2k

（3）

解：∵頂點A1，A2，…，An在直線y=x上，

∴可設An（n，n），點Dn所在的拋物線頂點坐標為（t，t）．

∴a=﹣ ，b=2，

∴由（1）（2）可得，點Dn所在的拋物線解析式為y=﹣ x2+2x．

∵四邊形AnBnCnDn是正方形，

∴點Dn的坐標是（2n，n），

∴﹣ （2n）2+22n=n，

∴4n=3t．

∵t、n是正整數，且t≤12，n≤12，

∴n=3，6或9．

∴滿足條件的正方形邊長是3，6或9

【解析】解：（1）∵頂點坐標為（1，1），
∴ ，
解得， ，
即當頂點坐標為（1，1）時，a=﹣1；
當頂點坐標為（m，m），m≠0時， ，
解得，
則a與m之間的關系式是：a=﹣ 或am+1=0．
故答案是：﹣1；a=﹣ 或am+1=0．
【考點精析】掌握二次函數的圖象和二次函數的性質是解答本題的根本，需要知道二次函數圖像關鍵點：1、開口方向2、對稱軸 3、頂點 4、與x軸交點 5、與y軸交點；增減性：當a>0時，對稱軸左邊，y隨x增大而減小；對稱軸右邊，y隨x增大而增大；當a<0時，對稱軸左邊，y隨x增大而增大；對稱軸右邊，y隨x增大而減小．