Question

【題目】 如圖，已知△ABC，AB=AC=1，∠A=36°，∠ABC的平分線BD交AC于點D，則AD的長是 ， cosA的值是 ． （結果保留根號）

Answer 1

【答案】；
【解析】解：∵△ABC，AB=AC=1，∠A=36°， ∴∠ABC=∠ACB= =72°．
∵BD是∠ABC的平分線，
∴∠ABD=∠DBC= ∠ABC=36°．
∴∠A=∠DBC=36°，
又∵∠C=∠C
∴△ABC∽△BDC，
∴ ，
設AD=x，則BD=BC=x．則 = ，
解得：x= （舍去）或 ．
故x= ．
如右圖，過點D作DE⊥AB于點E，
∵AD=BD，
∴E為AB中點，即AE= AB= ．
在Rt△AED中，cosA= = ．
故答案是： ； ．

【考點精析】掌握黃金分割和相似三角形的判定與性質是解答本題的根本，需要知道把線段AB分成兩條線段AC，BC（AC>BC），并且使AC是AB和BC的比例中項，叫做把線段AB黃金分割，點C叫做線段AB的黃金分割點，其中AC=0.618AB；相似三角形的一切對應線段(對應高、對應中線、對應角平分線、外接圓半徑、內切圓半徑等）的比等于相似比；相似三角形周長的比等于相似比；相似三角形面積的比等于相似比的平方．