Question

【題目】如圖，在矩形ABCD中，AB=5，AD=3，點P是AB邊上一點（不與A，B重合），連接CP，過點P作PQ⊥CP交AD于點Q，連接CQ。取CQ的中點M，連接MD，MP，若MD⊥MP，則AQ的長________。

Answer 1

【答案】2

【解析】分析：如圖，過M作EF⊥CD于F，則EF⊥AB，證得△MDF≌△PME，求得ME=，再利用梯形的中位線定理求解即可.

詳解：

如圖，過M作EF⊥CD于F，則EF⊥AB，

∵MD⊥MP，

∴∠PMD=90°，

∴∠PME+∠DMF=90°，

∵∠FDM+∠DMF=90°，

∴∠MDF=∠PME，

∵M是QC的中點，

根據直角三角形斜邊上的中線性質求得DM=PM=QC，

在△MDF和△PME中，，

∴△MDF≌△PME（AAS），

∴ME=DF，PE=MF，

∵EF⊥CD，AD⊥CD，

∴EF∥AD，

∵QM=MC，

∴DF=CF=DC=；

∴ME=，

∵ME是梯形ABCQ的中位線，

∴2ME=AQ+BC，即5=AQ+3，

∴AQ=2．

故答案為:2.