Question

【題目】如果關于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0有2個實數根，且其中一個實數根是另一個實數根的3倍，則稱該方程為“立根方程”．

（1）方程x2﹣4x+3＝0　 立根方程，方程x2﹣2x﹣3＝0　 立根方程；（請填“是”或“不是”）

（2）請證明：當點（m，n）在反比例函數y上時，關于x的一元二次方程mx2+4x+n＝0是立根方程；

（3）若方程ax2+bx+c＝0是立根方程，且兩點P（3，2）、Q（6，2）均在二次函數y＝ax2+bx+c上，求方程ax2+bx+c＝0的兩個根．

Answer 1

【答案】（1）是，不是；（2）見解析；（3）x1＝, x2=

【解析】

（1）分別解方程x2-4x+3=0與x2-2x-3=0，求出它們的根，根據“立根方程”的定義，判斷它們是不是立根方程．

（2）由點（m，n）在反比例函數y= 的圖象上，得到mn=3，解方程mx2+4x+n=0求得x1與x2的值，判斷是不是立根方程．

（3）由方程ax2+bx+c=0是立根方程，得到x1=3x2，由縱坐標相同的兩點P（3，2）、Q（6，2）都在拋物線y=ax2+bx+c上，根據拋物線的對稱軸得到x1+x2＝9，從而求出方程的兩個根．

解：（1）解方程x2-4x+3=0，得：x1=3，x2=1，
∵x1=3x2，
∴方程x2-4x+3=0是立根方程；
解方程x2-2x-3=0，得：x1=3，x2=-1，
∵x1=-3x2，
∴方程x2-2x-3=0不是立根方程．
故答案為：是，不是．

（2）∵點（m,n）在反比例函數上，所以

用求根公式解方程得：

x1＝﹣，x2＝﹣，

∴x1＝3x2，

當點（m，n）在反比例函數y＝上時，一元二次方程mx2+4x+n＝0是立根方程；

（3）∵方程ax2+bx+c＝0是立根方程，∴設x1＝3x2，

∵P（3，2），Q（6，2）在拋物線y＝ax2+bx+c上，

∴拋物線的對稱軸，

∴x1+x2＝9，∴3x2+x2＝9，∴x2=，∴x1＝3x2＝．

所以方程ax2+bx+c＝0的兩個根為：x1＝, x2=