Question

【題目】如圖，正方形ABCD中，對角線AC、BD相交于點O，點E是BC的中點，AE交BD于點F，BH⊥AE于點G，連接OG，則下列結論中①OF＝OH，②△AOF∽△BGF，③tan∠GOH＝2，④FG+CH＝GO，正確的個數是（　　）

A. 1B. 2C. 3D. 4

Answer 1

【答案】C

【解析】

①根據正方形ABCD的性質，可得AC⊥BD，∠AOF＝∠BOH＝90°，又BH⊥AE，∠AFO＝∠BFG，即∠OAF＝∠OBH，進而可證△AOF≌△BOH（ASA），即OF＝OH.

②根據∠AOF＝∠BGF＝90°，∠OAF＝∠OBH，可得△AOF∽△BGF

③根據點E是BC的中點，可得AB＝BC＝2BE，又因為∠AOB＝∠AGB＝90°，故A、B、G、O四點共圓，由圓周角定理推論可知∠BOG＝∠BAE，∠AGO＝∠ABO＝45°，由∠BOG+∠GOH＝90°，∠BAE+∠AEB＝90°，可得∠GOH＝∠AEB，求得tan∠GOH＝tan∠AEB＝＝2

④根據正方形的性質可得到△ADF∽△EBF，即＝＝2，即DF＝2BF，可求得OF+OD＝2（OD﹣OF），即OF＝OD＝OB，OH＝OB＝OC，CH＝OC＝AB，由∠AGO＝∠ACE＝45°，∠OAG＝∠EAC，得到△AOG∽△AEC，即=

根據勾股定理AE＝＝AB，可求得OG＝＝＝AB，GO＝AB.根據△AOF∽△BGF，△AOF≌△BOH得△BGF∽△BOH，即＝，由BG＝＝AB，得=，解得：FG＝AB，故FG+CH＝AB+AB≠GO＝AB.

解：∵四邊形ABCD是正方形，

∴AC⊥BD，AB＝BC＝AD，OA＝OB＝OC＝OD，AD∥BC，∠ABO＝∠ACB＝45°，

∴∠AOF＝∠BOH＝90°，

∵BH⊥AE，∠AFO＝∠BFG，

∴∠OAF＝∠OBH，

在△AOF和△BOH中，，

∴△AOF≌△BOH（ASA），

∴OF＝OH，①正確；

∵∠AOF＝∠BGF＝90°，∠OAF＝∠OBH，

∴△AOF∽△BGF，②正確；

∵點E是BC的中點，

∴AB＝BC＝2BE，

∵∠AOB＝∠AGB＝90°，

∴A、B、G、O四點共圓，

∴∠BOG＝∠BAE，∠AGO＝∠ABO＝45°，

∵∠BOG+∠GOH＝90°，∠BAE+∠AEB＝90°，

∴∠GOH＝∠AEB，

∴tan∠GOH＝tan∠AEB＝＝2，③正確；

∵AD∥BC，

∴△ADF∽△EBF，

∴＝＝2，

∴DF＝2BF，

∴OF+OD＝2（OD﹣OF），

解得：OF＝OD＝OB，

∴OH＝OB＝OC，

∴CH＝OC＝AB，

∵∠AGO＝∠ACE＝45°，∠OAG＝∠EAC，

∴△AOG∽△AEC，

∴=

∵AE＝＝AB，

∴OG＝＝＝AB，

∴GO＝AB，

∵△AOF∽△BGF，△AOF≌△BOH，

∴△BGF∽△BOH，

∴＝，

∵BG＝＝AB，

∴=

解得：FG＝AB，

∴FG+CH＝AB+AB≠GO＝AB，④錯誤；

正確的個數有3個，

故選：C．