Question

【題目】如圖，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于點D，BC=10cm，AD=8cm，E點F點分別為AB，AC的中點．

（1）求證：四邊形AEDF是菱形；

（2）求菱形AEDF的面積；

（3）若H從F點出發，在線段FE上以每秒2cm的速度向E點運動，點P從B點出發，在線段BC上以每秒3cm的速度向C點運動，問當t為何值時，四邊形BPHE是平行四邊形？當t取何值時，四邊形PCFH是平行四邊形？

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）20；（3）2秒

【解析】試題分析：（1）根據等腰三角形的三線合一可得出D為BC的中點，結合E、F分別為AB、AC的中點可得出DE和DF是△ABC的中位線，根據中位線的定義可得出DE∥AC、DF∥AB，即四邊形AEDF是平行四邊形，根據三角形中位線定義可得出DE=AC、DF=AB，結合AB=AC即可得出DE=DF，從而得出四邊形AEDF是菱形；

（2）根據中位線的定義可得出EF的長度，根據菱形的面積公式可求出菱形AEDF的面積；

（3）由中位線的定義可得出EF∥BC，根據平行四邊形的判定定理可得出關于t的一元一次方程，解之即可得出結論．

詳解：（1）證明：∵AB=AC，AD⊥BC，

∴D為BC的中點．

∵E、F分別為AB、AC的中點，

∴DE和DF是△ABC的中位線，

∴DE∥AC，DF∥AB，

∴四邊形AEDF是平行四邊形．

∵E，F分別為AB，AC的中點，AB=AC，

∴AE=AF，

∴四邊形AEDF是菱形，

（2）解：∵EF為△ABC的中位線，

∴EF=BC=5．

∵AD=8，AD⊥EF，

∴S菱形AEDF=ADEF=×8×5=20．

（3）解：∵EF∥BC，

∴EH∥BP．

若四邊形BPHE為平行四邊形，則須EH=BP，

∴5﹣2t=3t，

解得：t=1，

∴當t=1秒時，四邊形BPHE為平行四邊形．

∵EF∥BC，

∴FH∥PC．

若四邊形PCFH為平行四邊形，則須FH=PC，

∴2t=10﹣3t，

解得：t=2，

∴當t=2秒時，四邊形PCFH為平行四邊形．