Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，以點M（0， ）為圓心，以 長為半徑作⊙M交x軸于A，B兩點，交y軸于C，D兩點，連接AM并延長交⊙M于P點，連接PC交x軸于E．

（1）求出CP所在直線的解析式；

（2）連接AC，請求△ACP的面積．

Answer 1

【答案】（1）直線CP的解析式為y=3x-3；（2）△ACP的面積=12ACPC=12×23×6=63．

【解析】

試題（1）要求CP所在的直線的解析式，就必須知道C，P兩點的坐標，有圓心M的坐標，有圓的半徑，那么可求出OC的，OM的長，直角三角形AMO中有AM，OM的值，就能求出OA，OB的長，那么P的橫坐標就求出來了，連接PB，那么OM是三角形APB的中位線，PB=2OM，已經求出了OM的長，那么PB的長也就求出來了，這樣P點的坐標就求出來了，有了C，P的坐標，可根據待定系數法求出CP所在直線的解析式；

（2）求三角形ACP的面積實際上是求直角邊AC，PC的長，因為三角形ACP是個直角三角形，有斜邊AB的長，只要求出這個三角形中銳角的度數，即可求出直角邊的長，在三角形AMO中，我們可求出∠AMO的度數，根據圓周角定理，也就求出了∠P的度數，有了銳角的度數和斜邊的長，直角邊就能求出來了，面積也就能求出來了．

試題解析： (1)連接PB，

∵PA是⊙M的直徑，

∴∠PBA=90°，

∵DC是⊙M的直徑，且垂直于弦AB，

∴DC平分弦AB，

在Rt△AMO中AM=2，OM=，

∴AO=OB=3，

又∵MO⊥AB，

∴PB∥MO，

∴PB=2OM=2，

∴P點坐標為(3，2)，

∵CM=2，OM=，

∴OC=CMOM=，

∴C(0，)，直線CP過C，P兩點，

設直線CP的解析式為y=kx+b(k≠0)，

得到，

解得：，

∴直線CP的解析式為y=x；

(2)在Rt△AMO中，∠AMO=60°，

又∵AM=CM，

∴△AMC為等邊三角形，

∴AC=AM=2，∠MAC=60°

又∵AP為⊙M的直徑，

∴∠ACP=90°，∠APC=30°，

PC=AC=×2=6，

∴△ACP的面積=ACPC=×2×6=6.