Question

【題目】如圖，矩形中，,,點為對角線上異于點的一個動點，聯結,將沿所在的直線翻折，使得點落在點的位置

（1）當時，求點到直線的距離。

（2）聯結交于,求當和相似時，線段的長。

（3）當時，請直接寫出此時的面積。

Answer 1

【答案】（1）；（2）或；（3）或

【解析】

（1）根據直角三角形性質求解即可

（2）根據題意，相似分為兩種情況 ，一是△EPF∽△BAD，二是△EFP∽△BAD，在兩種情況下分類討論，分別求出不同情況下的值

（3）如圖一、圖二，首先弄清楚題目所存在的情況可能性，之后按照特殊的四邊形性質以及三角形相關性質求解即可

解 （1）過E作EG⊥AB于點G，

在Rt△ABD中,AD=, AB=3,

∴∠ABD =30°，

∵∠APD=45°，

∴∠BAP=15°，

∴∠BAE = 30°

在Rt△EAG中，EA= EB=3

∴EG=

(2)①△EPF∽△BAD,

∴∠EPF = 90° ,

∵∠APB=∠APE,

∴180°-∠APD=90 °+∠APD，

∴∠APD=45°，在△APD中，∠ADP=60°，∠APD=45°，AD=，DP=

∵ BD=

∴BP=

②△EFP∽△BAD，

∴AE⊥BD，

∴∠BAF=60°，

∴∠PAD=30°，

∴AP= BP

在等腰△APB中，AB=3， ∠APB=30°，

∴BP=

綜上所述:當△EPF和△ABD相似時，BP=或

（3）

如圖一：∠DPE=30°，

∵∠APB=∠APE，

∴180°-∠APD=30°+∠APD,

∴∠APD=75°

∴∠PAB=45°

在△APB中，過P做PI⊥AB

AB=3，∠PAB=45°，∠PBA=30°

∴PI=

∴△APB面積=

如圖二:過P做PH⊥AB于H，易得四邊形PEAB為菱形

∴△APB面積=

綜上所述，△APB面積為或