Question

【題目】在正方形ABCD中，有一直徑為CD的半圓，圓心為點O，CD＝2，現有兩點E、F，分別從點A、點C同時出發，點E沿線段AD以每秒1個單位長度的速度向點D運動，點F沿線段CB以每秒2個單位長度的速度向點B運動，當點F運動到點B時，點E也隨之停止運動．設點E離開點A的時間為t(s)，回答下列問題：

（1）如圖①，根據下列條件，分別求出t的值．

①EF與半圓相切；

②△EOF是等腰三角形．

（2）如圖②，點P是EF的中點，Q是半圓上一點，請直接寫出PQ＋OQ的最小值與最大值．

Answer 1

【答案】（1）①當EF與半圓相切時，t的值為1－；②當△EOF是等腰三角形時，t的值為或1；（2）1、1+．

【解析】

（1）①如圖，設EF與半圓相切于點G，由切線長定理可知ED=EG，FC=FG，在Rt△EHF中，利用勾股定理列出方程即可解決問題；
②分三種情形討論，分別列出方程求解即可；
（2）①當點P在半圓上時，PQ的最小值為0，此時PQ+OQ的最小值為1．②當點F運動到B時，點P與點O之間的結論最大，當Q與D重合時，PQ+OQ的值最大；

（1）①設EF與半圓相切于點G，

過點E作EH⊥BC，垂足為點H．

∵四邊形ABCD是正方形，

∴AB＝BC＝CD＝AD＝2，∠A＝∠B＝∠ADC＝∠BCD＝90°，

∴OD⊥AD，且AD經過半徑OD的外端點D，

∴AD與半圓相切于點D，

同理可證：BC與半圓相切于點C，

∴ED＝EG＝2－t，CF＝FG＝2t，

∴EF＝2＋t，

∵EH⊥BC，垂足為點H，∴∠BHE＝90°，

∵∠A＝∠B＝90°，∴四邊形ABHE是矩形，

∴EH＝AB＝2，BH＝AE＝t，

∴HF＝2－3t，

在△EHF中，∠EHF＝90°，

∴EH2＋HF2＝EF2，

∴22＋(2－3t)2＝(2＋t)2，

解這個方程，得t1＝1－＜1，t2＝1＋＞1（不合題意，舍去），

∴當EF與半圓相切時，t的值為1－．

②解：在△EDO中，∵∠EDO＝90°，∴OE2＝t2－4t＋5，

同理可證：OF2＝1＋4t2， EF2＝9t2－12t＋8，

第一種情況：當OE＝OF時，則OE2＝OF2，

∴t2－4t＋5＝1＋4t2，

解這個方程，得t1＝＜1，t2＝－2＜0（不合題意，舍去），

第二種情況：當OE＝EF時，則OE2＝EF2，

∴t2－4t＋5＝9t2－12t＋8，此方程無解，

第三種情況：當OF＝EF時，則OF2＝EF2，

∴1＋4t2＝9t2－12t＋8，

解這個方程，得t1＝1，t2＝1.4＞1（不合題意，舍去），

綜上所述：當△EOF是等腰三角形時，t的值為或1．

（3）

由題意可知，點P在邊CD的垂直平分線上，當運動開始的時候點P在圓周上，隨著運動點P向做運動直到停止

當P在圓上時，取P、Q為同一點，PQ+OQ最小為1，

當點F運動到B時，點P與點O之間的結論最大，當Q與D重合時，PQ+OQ的值最大

=+1=1+