Question

【題目】在平面直角坐標系xOy中的兩個圖形M與N，給出如下定義：P為圖形M上任意一點，Q為圖形N上任意一點，如果P，Q兩點間的距離有最小值，那么稱這個最小值為圖形M，N間的“和睦距離”，記作d（M，N）．若圖形M，N有公共點，則d（M，N）＝0．

（1）如圖，A（0，1），C（3，4），⊙C的半徑為2，則d（C，⊙C）＝　 　，d（O，⊙C）＝　 　；

（2）已知，如圖，△ABC的一邊AC在x軸上，B在y軸上，且AC＝8，AB＝7，BC＝5．

①D是△ABC內一點，若AC、BC分別切⊙D于E、F，且d（C，D）＝2d（D，AB），判斷AB與⊙D的位置關系，并求出D點的坐標；

②若以r為半徑，①中的D為圓心的⊙D，有d（B，⊙D）＞1，d（C，⊙D）＜2，直接寫出r的取值范圍　 　．

Answer 1

【答案】（1）2，3；（2）①AB是⊙O的切線，②

【解析】

（1）由圖形M、M間的“和睦距離”的定義即可求解;

（2）①連接DF，DE，作DH⊥AB于H. 設OC＝x.先證明∠CBO＝30°，再證明DH=DE即可解決問題

②先求出點D的坐標，列出不等式組求解即可.

解：（1）∵A（0，1），C（3，4），⊙C的半徑為2，

∴d（C，⊙C）＝2，d（O，⊙C）＝OC﹣2＝﹣2＝3，

故答案為2，3．

（2）①連接DF，DE，作DH⊥AB于H．設OC＝x．

∵OB2＝BC2﹣OC2＝AB2﹣AO2，

∴52﹣x2＝72﹣（8﹣x）2，

解得x＝，

∴BC＝2OC，

∴∠CBO＝30°，∠BCO＝60°，

∵CE，CF是⊙O的切線，

∴CD平分∠BCA，

∴∠DCE＝∠DCB＝30°，

∴DC＝2DE，

∵d（C，D）＝2d（D，AB），

∴CD＝2DH，

∴DH＝DE，

∴AB是⊙O的切線．

②由①可知OB＝OC＝，設DF＝DE＝DH＝x，

∵S△ABC＝ACOC＝（AC+BC+AB）x，

∴x＝，

∴CE＝DE＝3，CD＝2DE＝2，

∴OE＝3﹣＝，

∴D（，），∵B（0，），

∴BD＝＝，

由題意：，

解得2﹣2＜r＜﹣1．

故答案為2﹣2＜r＜﹣1．