Question

【題目】如圖，已知：拋物線y＝a（x+1）（x﹣3）與x軸相交于A、B兩點，與y軸的交于點C（0，﹣3）．

（1）求拋物線的解析式的一般式．

（2）若拋物線上有一點P，滿足∠ACO＝∠PCB，求P點坐標．

（3）直線l：y＝kx﹣k+2與拋物線交于E、F兩點，當點B到直線l的距離最大時，求△BEF的面積．

Answer 1

【答案】（1）y＝x2﹣2x﹣3；（2）（4，5）或（）；（3）10

【解析】

（1）把C點坐標代入y=a（x+1）（x-3）中求出a的值即可得到拋物線解析式；
（2）分兩種情況，當點P在直線BC的下方時，過點B作BE⊥BC交CP的延長線于點E，過點E作EM⊥x軸于點M，由直角三角形的性質可求得ME，BM長，求出點E的坐標，可求出直線CE的解析式，聯立直線和拋物線方程可求出點P的坐標；當點P在直線BC的上方時，過點B作BF⊥BC交CP于點F，同理求出點F的坐標和直線CF的解析式，聯立直線和拋物線方程可求得點P的坐標；
（3）求出直線y=kx-k+2恒過定點H（1，2），連結BH，當BH⊥直線l時，點B到直線l的距離最大時，求出此時k的值，可求出點E，F的坐標，則△BEF的面積可求出．

解：（1）把C（0，﹣3）代入y＝a（x+1）（x﹣3），

得﹣3a＝﹣3，解得a＝1，

所以拋物線解析式為y＝（x+1）（x﹣3），即y＝x2﹣2x﹣3；

（2）當點P在直線BC的下方時，如圖1，過點B作BE⊥BC交CP的延長線于點E，過點E作EM⊥x軸于點M，

∵y＝（x+1）（x﹣3），

∴y＝0時，x＝﹣1或x＝3，

∴A（﹣1，0），B（3，0），

∴，

∵OB＝OC＝3，

∴∠ABC＝45°，，

∵∠ACO＝∠PCB，

∴，

∴，

∵∠CBE＝90°，

∴∠MBE＝45°，

∴BM＝ME＝1，

∴E（4，﹣1），

設直線CE的解析式為y＝kx+b，

∴ ，

解得： ，

∴直線CE的解析式為 ，

∴ ，

解得， ，

把代入得，

∴ ，

當點P在直線BC的上方時，過點B作BF⊥BC交CP于點F，如圖2，

同理求出，FN＝BN＝1，

∴F（2，1），

求出直線CF的解析式為y＝2x﹣3，

∴ ，

解得：x1＝0，x2＝4，

∴P（4，5）．

綜合以上可得點P的坐標為（4，5）或（）；

（3）∵直線l：y＝kx﹣k+2，

∴y﹣2＝k（x﹣1），

∴x﹣1＝0，y﹣2＝0，

∴直線y＝kx﹣k+2恒過定點H（1，2），如圖3，連結BH，當BH⊥直線l時，點B到直線l的距離最大時，

求出直線BH的解析式為y＝﹣x+3，

∴k＝1，

∴直線l的解析式為y＝x+1，

∴ ，

解得： ， ，

∴E（﹣1，0），F（4，5），

∴ ．