Question

【題目】如圖，△ABC內接于⊙O，AB是⊙O直徑，∠ACB的平分線交⊙O于D，若AC＝m，BC＝n，則CD的長為_____（用含m、n的代數式表示）．

Answer 1

【答案】

【解析】

如圖，作DE⊥CA于E，DF⊥BC交CB延長線于F，可得DE＝DF，四邊形DECF是正方形，利用HL可證Rt△ADE≌Rt△BDF，則AE＝BF，進一步即得CE+CF＝AC+BC，進而可得CE的長，然后利用等腰直角三角形的性質即可求出CD的長.

解：如圖，作DE⊥CA于E，DF⊥BC交CB延長線于F，則∠CED＝∠CFD＝90°，

∵AB是直徑，

∴∠ECF＝90°，

∴四邊形DECF是矩形，

∵DC平分∠ACB，DE⊥CA，DF⊥CB，

∴DE＝DF，

∴四邊形DECF是正方形，

∵∠DCA＝∠DCB，

∴，

∴AD＝BD，

∴Rt△ADE≌Rt△BDF（HL），

∴AE＝BF，

∴CE+CF＝AC﹣AE+CB+BF＝AC+BC＝m+n，

∴CE＝CF＝DE＝DF＝（m+n），

∴CD＝（m+n），

故答案為：（m+n）．