Question

【題目】已知拋物線y＝x2+（2m+1）x+m（m﹣3），（m為常數，﹣1≤m≤4），A（﹣m﹣1，y1），是該拋物線上不同的兩點，現將拋物線的對稱軸繞坐標原點O逆時針旋轉90°得到直線a，過拋物線頂點P作PH⊥a于H．

（1）當m＝1時，求出這條拋物線的頂點坐標；

（2）若無論m取何值，拋物線與直線y＝x﹣km（k為常數）有且僅有一個公共點，求k的值；

（3）當1＜PH≤6時，試比較y1，y2之間的大小．

Answer 1

【答案】（1）（﹣，﹣）；（2）k=3;（3）﹣1≤m＜﹣或＜m≤時，有y2＞y1，﹣＜m＜﹣時，有y2＜y1

【解析】

(1)化成頂點式即可求得頂點坐標;（2）列方程組根據△=0解決問題;（3）首先證明y1=y3，再根據點B的位置，分類討論，①令 ＜-m-1，求出m的范圍即可判斷，②令=-m-1，則A與B重合，此情形不合題意，舍棄．③令＞-m-1，求出m的范圍即可判斷，④令 ≤＜-m，求出m的范圍即可判斷，⑤令=-m，B，C重合，不合題意舍棄．⑥令＞-m，求出m的范圍即可判斷．

解：（1）∵m＝1，

∴y＝x2+3x﹣2＝（x+）2﹣，

∴頂點坐標（﹣，﹣）．

（2）由 消去y得x2+2mx+（m2+km﹣3m）＝0，

∵拋物線與直線y＝x﹣km有且僅有一個公共點，

∴△＝0，即（k﹣3）m＝0，

∵無論m取何值，方程總是成立，

∴k﹣3＝0，

∴k＝3．

（3）∵，

拋物線y＝x2+（2m+1）x+m（m﹣3）的頂點為，

PH＝|﹣ ﹣（﹣ ）|＝| |，

∵1＜PH≤6，

∴當＞0時，有1＜≤6，又﹣1≤m≤4，

∴ ＜m≤ ，

當＜0時，1＜﹣≤6，又∵﹣1≤m≤4，

∴﹣1≤m＜﹣，

∴﹣1≤m＜﹣或＜m≤，

∵A（﹣m﹣1，y1）在拋物線上，

∴y1＝（﹣m﹣1）2+（2m+1）（﹣m﹣1）+m（m+3）＝﹣4m，

∵C（﹣m，y3）在拋物線上，

∴y3＝（﹣m）2+（2m+1）（﹣m）+m（m﹣3）＝﹣4m，

∴y1＝y3，

①令＜﹣m﹣1，則有m＜﹣ ，結合﹣1≤m＜﹣，

∴﹣1≤m＜﹣，

此時，在對稱軸的左側y隨x的增大而減小，如圖1，

∴y2＞y1＝y3，

即當﹣1≤m＜﹣時，有y2＞y1＝y3．

②令＝﹣m﹣1，則A與B重合，此情形不合題意，舍棄．

③令＞﹣m﹣1，且時，有﹣＜m≤﹣ ，結合﹣1≤m＜﹣，

∴﹣＜m≤﹣，

此時，在對稱軸的左側，y隨x的增大而減小，如圖2，

∴y1＝y3＞y2，

即當﹣＜m≤﹣時，有y1＝y3＞y2，

④令，有﹣≤m＜0，結合﹣1≤m＜﹣，

∴﹣≤m＜﹣，

此時，在對稱軸的右側y隨x的增大而增大，如圖3，

∴y2＜y3＝y1．

⑤令，B，C重合，不合題意舍棄．

⑥令，有m＞0，結合＜m≤，

∴＜m≤，

此時，在對稱軸的右側，y隨x的增大而增大，如圖4，

∴y2＞y3＝y1，

即當＜m≤時，有y2＞y3＝y1，

綜上所述，﹣1≤m＜﹣或＜m≤時，有y2＞y1＝y3，﹣＜m＜﹣時，有y2＜y1＝y3．