Question

如圖，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=5，BC=10，高AG=4，E為BC邊上的一個動點（不與B、C重合）．F是腰AB上的一點，且EF⊥AB、連接DE，DF．
（1）求證：△BEF∽△BAG；
（2）當點E在線段BC上運動時，設BE=x．△DEF的面積為y．①請你求出y和x之間的函數關系式，并寫出自變量的取值范圍；②求當x為何值時，y有最大（小）值．

Answer 1

（1）∵AG⊥BC，EF⊥AB，
∴∠AGB=∠EFB=90°，∠B=∠B，
∴△BEF∽△BAG；

（2）∵△BEF∽△BAG，
∴BF=

3

5

x，EF=

4

5

x，
作DM⊥AB于M，得△BEF∽△ADM，
∴

DM

4

=

4

5

，
∴DM=

16

5

，
∴S_△DAF=8-

24

25

x，
∵S_梯形ABCD=28，S_△DEC=20-2x，
∴y=S_梯形ABCD-S_△BEF-S_△DEC-S_△DAF=-

6

25

x²+

74

25

x，
∵當點F于點A重合時BF最長，此時

3

5

x=5，解得x=

25

3

，
∴0＜x≤

25

3

，
∴當x=

37

6

，y有最大值．