Question

18．如圖，拋物線y=x²-2x-3與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C．
（1）點A的坐標為（-1，0），點B的坐標為（3，0），點C的坐標為（0，-3）；
（2）設拋物線y=x²-2x-3的頂點坐標為M，求四邊形ABMC的面積．
（3）在直線CB下方的拋物線上是否存在點D，使得△BCD的面積最大？若存在，求出點D的坐標；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析 （1）把C（0，-3）代入拋物線解析式可得k值，令y=0，可得A，B兩點的橫坐標；
（2）過M點作x軸的垂線，把四邊形ABMC分割成兩個直角三角形和一個直角梯形，求它們的面積和；
（3）設D（m，m²-2m-3），連接OD，把△BCD的面積轉化成求△BOC，△DOC，△DOB的面積的和差，求表達式的最大值．

解答 解：（1）在y=x²-2x-3中，
令y=0，
即x²-2x-3=0，
解得 x₁=-1，x₂=3．
令x=0，得y=-3，
∴A（-1，0），B（3，0），C（0，-3），
故答案是：（-1，0）；（3，0）；（0，-3）；

（2）∵y=x²-2x-3=（x-1）²-4，
∴拋物線的頂點為M（1，-4）．
如圖1，連接OM、AC、CM、MB．
則S_△AOC=$\frac{3}{2}$，S_△MOC=$\frac{3}{2}$，
S_△MOB=6，
∴S_{四邊形ABMC}=S_△AOC+S_△MOC+S_△MOB=9；

（3）如圖2，設D（m，m²-2m-3），連接OD．
則0＜m＜3，m²-2m-3＜0
∵△DOC的面積=$\frac{3}{2}$m，
△DOB的面積=-$\frac{3}{2}$（m²-2m-3），
∴S_△BDC=S_△DOC+S_△DOB-S_△BOC
=$\frac{3}{2}$m-$\frac{3}{2}$（m²-2m-3）-$\frac{1}{2}×$3×3=-$\frac{3}{2}$m²+$\frac{9}{2}$m=-$\frac{3}{2}$（m-$\frac{3}{2}$）²+$\frac{27}{8}$，
∴存在點D（ $\frac{3}{2}$，-$\frac{15}{4}$），使△BCD的面積最大為 $\frac{27}{8}$．

點評 本題考查了待定系數法求二次函數解析式、二次函數圖象上點的坐標特征以及不規則圖形面積的求法等二次函數綜合題型．解答（2）題時，也可過點M作拋物線的對稱軸，將四邊形ABMC的面積轉化為求一個梯形與兩個直角三角形面積的和．