Question

【題目】如圖1，中，，于點，，．

（1）求，的長

（2）若點是射線上的一個動點，作于點，連結．

①當點在線段上時，若是以為腰的等腰三角形，請求出所有符合條件的的長．

②設交直線于點，連結，，若，則的長為______________．（直接寫出結果）

Answer 1

【答案】（1）BC=10，AC=（2）①-4或4； ②或8．

【解析】

（1）根據BA=BC可得BC的長，分別根據勾股定理可得OC和AC的長；
（2）①分兩種情況：AO=OE和AO=AE時，分別畫圖，根據三角形的中位線定理和證明三角形全等可解決問題；
②分兩種情況：
i）當D在線段OB上時，如圖3，過B作BG⊥EF于G，根據同高三角形面積的比等于對應底邊的比，得，可得BF= ，根據平行線的性質證明∠BDG=∠BFG，得BD=BF=，最后利用勾股定理可得結論；
ii）當D在線段OB的延長線上時，如圖4，過B作BG⊥DE于G，同理計算可得結論．

（1）∵AO=4，BO=6，
∴AB=10，
∵BA=BC，
∴BC=10，
∵CO⊥AB，
∴∠AOC=∠BOC=90°，

∵

∴

（2）①分兩種情況：
i）如圖1，當AO=OE=4時，過O作ON⊥AC于N，

∴AN=EN，
∵DE⊥AC，
∴ON∥DE，
∴AO=OD=4；
ii）當AO=AE=4時，如圖2，

在△CAO和△DAE中，
，
∴△CAO≌△DAE（AAS），
∴AD=AC=4，
∴OD=4-4；
②分兩種情況：
i）當D在線段OB上時，如圖3，過B作BG⊥EF于G，

∵S△OBF：S△OCF=1：4，
∴
∴
∵CB=10
∴BF=
∵EF⊥AC，
∴BG∥AC，
∴∠GBF=∠ACB，
∵AE∥BG，
∴∠A=∠DBG，
∵AB=BC，
∴∠A=∠ACB，
∴∠DBG=∠GBF，
∵∠DGB=∠FGB，
∴∠BDG=∠BFG，
∴BD=BF=，
∴OD=OB-BD=6-=，
∴CD= ；
ii）當D在線段OB的延長線上時，如圖4，過B作BG⊥DE于G，

同理得，
∵BC=10，
∴BF=2，
同理得：∠BFG=∠BDF，
∴BD=BF=2，
Rt△COD中，CD= ，
綜上，CD的長為或8．
故答案為：或8．