Question

【題目】如圖，AB是⊙O的直徑，點F，C是⊙O上兩點，且，連接AC，AF，過點C作CD⊥AF交AF延長線于點D，垂足為D．

(1)求證：CD是⊙O的切線；

(2)若CD=2，求⊙O的半徑．

Answer 1

【答案】 (2)4

【解析】

試題（1）連結OC，由=，根據圓周角定理得∠FAC=∠BAC，而∠OAC=∠OCA，則∠FAC=∠OCA，可判斷OC∥AF，由于CD⊥AF，所以OC⊥CD，然后根據切線的判定定理得到CD是⊙O的切線；

（2）連結BC，由AB為直徑得∠ACB=90°，由==,得∠BOC=60°，則∠BAC=30°，所以

∠DAC=30°，在Rt△ADC中，利用含30°的直角三角形三邊的關系得AC=2CD=4，在Rt△ACB中，利用含30°的直角三角形三邊的關系得BC=AC=4，AB=2BC=8，所以⊙O的半徑為4．

試題解析：（1）證明：連結OC，如圖，

∵=

∴∠FAC=∠BAC

∵OA=OC

∴∠OAC=∠OCA

∴∠FAC=∠OCA

∴OC∥AF

∵CD⊥AF

∴OC⊥CD

∴CD是⊙O的切線

（2）解：連結BC，如圖

∵AB為直徑

∴∠ACB=90°

∵==

∴∠BOC=×180°=60°

∴∠BAC=30°

∴∠DAC=30°

在Rt△ADC中，CD=2

∴AC=2CD=4

在Rt△ACB中，BC=AC=×4=4

∴AB=2BC=8

∴⊙O的半徑為4.