Question

【題目】如圖．平分，，垂足為，交的延長線于點，若恰好平分．

求證：（1）點為的中點；

（2）．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析；

【解析】

（1）過點D作DH⊥AB于H，由角平分線的性質可得DE=DH，DF=DH，可得結論；

（2）由“AAS"可證△DCE≌△DBF，可證CD=BD，由等腰三角形的性質可證AD⊥BC；

（1）如圖，過點D作DH⊥AB于H，

∵AD平分∠BAC，DE⊥AC，DH⊥AB，

∴DE=DH，

∵BF∥AC，DE⊥AC，

∴BF⊥DF，

∵BC平分∠ABF，DH⊥AB，DF⊥BF，

∴DF=DH，

∴DE=DF，

∴點D為EF的中點；

（2）∵BF∥AC，

∴∠C=∠DBF，

∵∠C=∠DBF，∠CDE=∠BDF，DE=DF，

∴△DCE≌△DBF，

∴CD=BD，

∵BC平分∠ABF，

∴∠ABD=∠DBF，

∴∠C=∠ABD，

∴AC=AB，且CD=BD，

∴AD⊥BC；