Question

14．閱讀下列材料：
1×2=$\frac{1}{3}$（1×2×3-0×1×2）
2×3=$\frac{1}{3}$（2×3×4-1×2×3）
3×4=$\frac{1}{3}$（3×4×5-2×3×4）
由以上三個等式相加，可得：1×2+2×3+3×4=$\frac{1}{3}$×3×4×5=20
讀完以上材料，請你計算下列各題：
（1）1×2+2×3+3×4+…+10×11（寫出過程）
（2）1×2+2×3+3×4+…+n×（n+1）=$\frac{1}{3}$n（n+1）（n+2）；
（3）1×2×3+2×3×4+3×4×5+…+9×10×11=2970．

Answer 1

分析 根據給定等式的變化找出變化規律“n（n+1）=$\frac{1}{3}$[n（n+1）（n+2）-（n-1）n（n+1）]”．
（1）根據變化規律將算式展開后即可得出原式=$\frac{1}{3}$×10×11×12，此題得解；
（2）根據變化規律將算式展開后即可得出原式=$\frac{1}{3}$n（n+1）（n+2），此題得解；
（3）通過類比找出變化規律“n（n+1）（n+2）=$\frac{1}{4}$[n（n+1）（n+2）（n+3）-（n-1）n（n+1）（n+2）]”，依此規律將算式展開后即可得出結論．

解答 解：觀察，發現規律：1×2=$\frac{1}{3}$（1×2×3-0×1×2），2×3=$\frac{1}{3}$（2×3×4-1×2×3），3×4=$\frac{1}{3}$（3×4×5-2×3×4），…，
∴n（n+1）=$\frac{1}{3}$[n（n+1）（n+2）-（n-1）n（n+1）]．
（1）原式=$\frac{1}{3}$（1×2×3-0×1×2）+$\frac{1}{3}$（2×3×4-1×2×3）+$\frac{1}{3}$（3×4×5-2×3×4）+…+$\frac{1}{3}$（10×11×12-9×10×11），
=$\frac{1}{3}$×10×11×12，
=440．
（2）原式=$\frac{1}{3}$（1×2×3-0×1×2）+$\frac{1}{3}$（2×3×4-1×2×3）+$\frac{1}{3}$（3×4×5-2×3×4）+…+$\frac{1}{3}$[n（n+1）（n+2）-（n-1）n（n+1）]，
=$\frac{1}{3}$n（n+1）（n+2）．
故答案為：$\frac{1}{3}$n（n+1）（n+2）．
（3）觀察，發現規律：1×2×3=$\frac{1}{4}$（1×2×3×4-0×1×2×3），2×3×4=$\frac{1}{4}$（2×3×4×5-1×2×3×4），3×4×5=$\frac{1}{4}$（3×4×5×6-2×3×4×5），…，
∴n（n+1）（n+2）=$\frac{1}{4}$[n（n+1）（n+2）（n+3）-（n-1）n（n+1）（n+2）]，
∴原式=$\frac{1}{4}$（1×2×3×4-0×1×2×3）+$\frac{1}{4}$（2×3×4×5-1×2×3×4）+$\frac{1}{4}$（3×4×5×6-2×3×4×5）+…+$\frac{1}{4}$（9×10×11×12-8×9×10×11），
=$\frac{1}{4}$×9×10×11×12，
=2970．
故答案為：2970．

點評 本題考查了規律型中數字的變化類以及有理數的混合運算，根據等式的變化找出變化規律是解題的關鍵．