Question

如圖，在平面直角坐標系xOy中，矩形ABCD的邊AB在x軸上，且AB=3，BC=2

3

，直線y=

3

x-2

3

經過點C，交y軸于點G．
（1）點C、D的坐標分別是C______，D______；
（2）求頂點在直線y=

3

x-2

3

上且經過點C、D的拋物線的解析式；
（3）將（2）中的拋物線沿直線y=

3

x-2

3

平移，平移后的拋物線交y軸于點F，頂點為點E（頂點在y軸右側）．平移后是否存在這樣的拋物線，使△EFG為等腰三角形？若存在，請求出此時拋物線的解析式；若不存在，請說明理由．

Answer 1

（1）令y=2

3

，2

3

=

3

x-2

3

，解得x=4，則OA=4-3=1，
∴C（4，2

3

），D（1，2

3

）；
故答案為（4，2

3

）；（1，2

3

）；

（2）由二次函數對稱性得，頂點橫坐標為

1+4

2

=

5

2

，
令x=

5

2

，則y=

3

×

5

2

-2

3

=

3

2

，
∴頂點坐標為（

5

2

，

3

2

），
∴設拋物線解析式為y=a(x-

5

2

)2+

3

2

，把點D(1，2

3

)代入得，a=

2 3

3

∴解析式為y=

2 3

3

(x-

5

2

)2+

3

2

（3）設頂點E在直線上運動的橫坐標為m，則E(m，

3

m-2

3

)(m＞0)
∴可設解析式為y=

2 3

3

(x-m)2+

3

m-2

3

，
①當FG=EG時，FG=EG=2m，則F(0，2m-2

3

)，代入解析式得

2 3

3

m2+

3

m-2

3

=2m-2

3

，
得m=0（舍去），m=

3

-

3

2

，
此時所求的解析式為：y=

2 3

3

(x-

3

+

3

2

)2+3-

7 3

2

；
②當GE=EF時，FG=2

3

m，則F（0，2

3

m-2

3

），
代入解析式得：

2 3

3

m²+

3

m-2

3

=2

3

m-2

3

，解得m=0（舍去），m=

3

2

，
此時所求的解析式為：y=

2 3

3

（x-

3

2

）²-

3

2

；
③當FG=FE時，不存在．