Question

如圖，在矩形OABC中，已知A、C兩點的坐標分別為A（4，0）、C（0，2），D為OA的中點．設點P是∠AOC平分線上的一個動點（不與點O重合）．
（1）試證明：無論點P運動到何處，PC總與PD相等；
（2）當點P運動到與點B的距離最小時，試確定過O、P、D三點的拋物線的解析式；
（3）設點E是（2）中所確定拋物線的頂點，當點P運動到何處時，△PDE的周長最小？求出此時點P的坐標和△PDE的周長；
（4）設點N是矩形OABC的對稱中心，是否存在點P，使∠CPN=90°？若存在，請直接寫出點P的坐標．

Answer 1

（1）∵點D是OA的中點，
∴OD=2，
∴OD=OC．
又∵OP是∠COD的角平分線，
∴∠POC=∠POD=45°，
∴△POC≌△POD，
∴PC=PD．

（2）過點B作∠AOC的平分線的垂線，垂足為P，點P即為所求．
易知點F的坐標為（2，2），故BF=2，作PM⊥BF，
∵△PBF是等腰直角三角形，
∴PM=

1

2

BF=1，
∴點P的坐標為（3，3）．
∵拋物線經過原點，
∴設拋物線的解析式為y=ax²+bx．
又∵拋物線經過點P（3，3）和點D（2，0），
∴有

9a+3b=3 4a+2b=0

解得

a=1 b=-2

∴拋物線的解析式為y=x²-2x；

（3）由等腰直角三角形的對稱性知D點關于∠AOC的平分線的對稱點即為C點．
連接EC，它與∠AOC的平分線的交點即為所求的P點（因為PE+PD=EC，而兩點之間線段最短），此時△PED的周長最小．
∵拋物線y=x²-2x的頂點E的坐標（1，-1），C點的坐標（0，2），
設CE所在直線的解析式為y=kx+b，
則有

k+b=-1 b=2

，
解得

k=-3 b=2

．
∴CE所在直線的解析式為y=-3x+2．
點P滿足

y=-3x+2 y=x

，
解得

x= 1 2 y= 1 2

，
故點P的坐標為(

1

2

，

1

2

)．
△PED的周長即是CE+DE=

10

+

2

；

（4）假設存在符合條件的P點．矩形的對稱中心為對角線的交點，故N（2，1）．
①當P點在N點上方時，由（2）知F（2，2），且∠NFC=90°，顯然F點符合P點的要求，故P（2，2）；
②當P點在N點下方時，設P（a，a），則：∵C（0，2），N（2，1），∴由勾股定理得，CP²+PN²=CN²，即a²+（a-2）²+（2-a）²+（1-a）²=5，即4a²-10a+4=0，解得a=

1

2

或a=2，故P（

1

2

，

1

2

），
綜上可知：存在點P，使∠CPN=90度．其坐標是(

1

2

，

1

2

)或（2，2）．