Question

已知拋物線y=

3

3

x2-

4 3

3

x+

3

與y軸交于點A，與x軸交于B、C兩點（C在B的左邊）．
（1）過A、O、B三點作⊙M，求⊙M的半徑；
（2）點P為弧OAB上的動點，當點P運動到何位置時△OPB的面積最大？求出此時點P的坐標及△OPB的最大面積．

Answer 1

（1）∵拋物線y=

3

3

x2-

4 3

3

x+

3

與y軸交于點A，與x軸交于B、C兩點（C在B的左邊），
∴y=0時，0=

3

3

x2-

4 3

3

x+

3

，
整理得出：x²-4x+3=0，
解得：x₁=1，x₂=3，
當x=0，則y=

3

，
由題意可得：A（0，

3

），B（3，0），C（1，0），
∴OA=

3

，OB=3，
連接AB，∵∠AOB=90°，
∴AB為⊙M的直徑，
∴AB=2

3

，
∴⊙M的半徑為

3

；

（2）在△AOB中，∵OA=

3

，OB=3，∠AOB=90°，
∴tan∠OAB=

3

3

=

3

，
∴∠OAB=60°，
∵點P為弧OAB上的動點，
∴∠OPB=60°，
∵OB=3是定值，要使△OPB面積最大，只要使OB邊上的高最大，
即點P到OB邊的距離最大，
∴點P為為弧OAB的中點，此時為△OPB為等邊三角形，
且邊長為3，
過點P作PT⊥OB于點T，
根據題意得出：OT=

3

2

，PT=

3 3

2

，
∴P（

3

2

，

3 3

2

），△OPB的最大面積為：

1

2

×3×

3 3

2

=

9 3

4

．