Question

如圖，拋物線y=ax²+bx+c的交x軸于點A和點B（-2，0），與y軸的負半軸交于點C，且線段OC的長度是線段OA的2倍，拋物線的對稱軸是直線x=1．
（1）求拋物線的解析式；
（2）若過點（0，-5）且平行于x軸的直線與該拋物線交于M、N兩點，以線段MN為一邊拋物線上與M、N不重合的任意一點P（x，y）為頂點作平行四邊形，若平行四邊形的面積為S，請你求出S關于點P的縱坐標y的函數解析式；
（3）當0＜x≤

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時，（2）中的平行四邊形的面積是否存在最大值？若存在，請求出來；若不存在，請說明理由．

Answer 1

（1）∵拋物線的對稱軸x=1，B（-2，0）
∴A（4，0），OA=4
∴OC=2OA=8，即C點坐標為（0，-8）
設拋物線的解析式為y=a（x+2）（x-4）
由于拋物線過C點，
則有a（0+2）（0-4）=-8，
即a=1
因此拋物線的解析式為y=（x+2）（x-4）=x²-2x-8；

（2）當y=-5時，x²-2x-8=-5，
解得x=3，x=-1
∴M、N的坐標分別為（3，-5），（-1，-5）
∴MN=4
∴S=4|y+5|；

（3）由于0＜x≤

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3

，此時y＜0，且P與M、N不重合，因此可分兩種情況進行討論：
①當0＜x＜3時，
S=4（-5-y）=4（-5-x²+2x+8）=4（-x²+2x-1+4）=-4（x-1）²+16，
S_max=16；
②當3＜x≤

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時，
S=4（5+y）=4（x²-2x-3）=4（x-1）²-16，
由于拋物線開口向上，且對稱軸為x=-1，
因此當x=

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3

時，S_max=

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．
因此存在平行四邊形的最大值，且最大值為16．