Question

17．如圖1為放置在水平桌面上的臺(tái)燈的平面示意圖，燈臂AO長為50cm，與水平桌面所形成的夾角∠OAM為75°．由光源O射出的邊緣光線OC，OB與水平桌面所形成的夾角∠OCA，∠OBA分別為90°和30°．（不考慮其他因素，結(jié)果精確到0.1cm． sin75°≈0.97，cos75°≈0.26，$\sqrt{3}$≈1.73
（1）求該臺(tái)燈照亮水平桌面的寬度BC．
（2）人在此臺(tái)燈下看書，將其側(cè)面抽象成如圖2所示的幾何圖形，若書與水平桌面的夾角∠EFC為60°，書的長度EF為24cm，點(diǎn)P為眼睛所在位置，當(dāng)點(diǎn)P在EF 的垂直平分線上，且到EF距離約為34cm（人的正確看書姿勢是眼睛離書距離約1尺≈34cm）時(shí)，稱點(diǎn)P為“最佳視點(diǎn)”．請通過計(jì)算說明最佳視點(diǎn)P在不在燈光照射范圍內(nèi)？

Answer 1

分析 （1）在直角三角形ACO中，根據(jù)sin75°=$\frac{OC}{OA}$，求出OC，在直角三角形BCO中，tan30°=$\frac{OC}{BC}$，求出BC即可．
（2）如圖，過點(diǎn)P作PH⊥AB于H，交OB于M，過點(diǎn)D作DG⊥PH于G，DQ⊥AB于Q，則四邊形DGHQ為矩形，∠GDF=∠EFC=∠DPG=60°，求出PH，MH的長即可判斷．

解答 解：（1）在直角三角形ACO中，sin75°=$\frac{OC}{OA}$，
解得OC=50×0.97≈48.5，
在直角三角形BCO中，tan30°=$\frac{OC}{BC}$，
解得BC=1.73×48.5≈83.9．
答：該臺(tái)燈照亮水平面的寬度BC大約是83.9cm，

（2）如圖，過點(diǎn)P作PH⊥AB于H，交OB于M，過點(diǎn)D作DG⊥PH于G，DQ⊥AB于Q，則四邊形DGHQ為矩形，∠GDF=∠EFC=∠DPG=60°
由題意DE=DF=12，DP=34，
∴PG=17，QH=DG=17$\sqrt{3}$，QF=6，GH=DQ=6$\sqrt{3}$，
∴PH=PH+GH=17+6$\sqrt{3}$≈27.38，
又∵CH=6+17$\sqrt{3}$≈35.41 
∴HB=CB-CH=83.9-35.41≈48.49，
∵∠OBC=30°，tan∠OBC=1：$\sqrt{3}$，
∴MH=HB÷$\sqrt{3}$=48.49÷$\sqrt{3}$≈28.03，
∵27.38＜28.03，
∴最佳視點(diǎn)P在燈光照射范圍內(nèi)．

點(diǎn)評 本題考查解直角三角形的應(yīng)用、線段的垂直平分線的性質(zhì)、視點(diǎn)、盲點(diǎn)和盲區(qū)等知識，解題的關(guān)鍵是靈活應(yīng)用所學(xué)知識解決問題，屬于中考常考題型．