Question

如圖，在?ABCD中，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分別為點E，F，點G，H分別為AD，BC的中點，試證明EF和GH互相平分．

Answer 1

考點：平行四邊形的判定與性質

專題：證明題

分析：根據直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，以及等腰三角形的性質，即可證得∠GEF=∠BFH，則EG和FH平行且相等，即可證明四邊形EHFG是平行四邊形，從而證明EF和GH互相平分．

解答：證明：∵AE⊥BD，G是AD的中點，即EG是直角△AED斜邊AD上的中線，
∴EG=

1

2

AD=DG，
同理，FH=

1

2

BC=BH，
又∵平行四邊形ABCD中，AD=BC，
∴EG=FH=DG=BH．
∴∠GDE=∠GED，∠FBH=∠BFH，
又∵平行四邊形ABCD中，AD∥BC，
∴∠GDE=∠FBH，
∴∠GEF=∠BFH，
∴EG∥FH，
又∵EG=FH，
∴四邊形EHFG是平行四邊形，
∴EF和GH互相平分．

點評：本題考查了直角三角形的性質，以及平行四邊形的判定與性質，證明兩線段互相平分的問題常用的思路是轉化為證明平行四邊形的問題．