Question

直線l：y=-2x+2m（m＞0）與x，y軸分別交于A、B兩點，點M是雙曲線y=

4

x

（x＞0）上一點，分別連接MA、MB．
（1）如圖，當點A（

2 3

3

，0）時，恰好AB=AM；∠M₁AB=90°試求M₁的坐標；
（2）如圖，當m=3時，直線l與雙曲線交于C、D兩點，分別連接OC、OD，試求△OCD面積；
（3）如圖，在雙曲線上是否存在點M，使得以AB為直角邊的△MAB與△AOB相似？如果存在，請直接寫出點M的坐標；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：反比例函數綜合題

專題：

分析：（1）把A的坐標代入直線的解析式即可求得m的值，然后證明△OAB≌△EMA，求得ME和AE的長，則M的坐標即可求解；
（2）解一次函數與反比例函數的解析式組成的方程組，即可求得C和D的坐標，作DF⊥y軸于點F，CG⊥y軸，根據S_△OCD=S_梯形CDFG+S_△OCG-S_△ODF求解；
（3）需要分類討論：以∠BAM和∠ABM為直角兩種情況．以∠BAM為例進行解答：作MH⊥x軸于點H，根據△AOB∽△MAB求得AM的長，然后證明△AOB∽△MHA，根據相似三角形的性質求得AH和MH的長，進而求得M的坐標，然后判斷M是否在反比例函數的圖象上即可．

解答：解：（1）把A（

2 3

3

，0）代入y=-2x+2m得：-

4 3

3

+2m=0，
解得：m=

2 3

3

．
則直線的解析式是：y=-2x+

4 3

3

，
令x=0，解得y=

4 3

3

，
則B的坐標是（0，

4 3

3

）．
作ME⊥x軸于點E．
∵∠BAM=90°，
∴∠BAO+∠MAE=90°，
又∵直角△AEM中，∠AME+∠MAE=90°，
∴∠BAO=∠AME．
在△OAB和△EMA中，

∠AOB=∠AEM ∠BAO=∠AME AB=AM

，
∴△OAB≌△EMA（AAS），
∴ME=OA=

2 3

3

，AE=OB=

4 3

3

．
∴OE=OA+AE=2

3

，
則M₁的坐標是（2

3

，

2 3

3

）；
（2）當m=3時，一次函數的解析式是y=-2x+6．
解不等式組

y=-2x+6 y= 4 x

，
解得：

x=1 y=4

或

x=2 y=2

，
則D的坐標是（1，4），C的坐標是（2，2）．
作DF⊥y軸于點F，CG⊥y軸，則F和G的坐標分別是（0，4），（0，2）．
則S_△OCG=S_△ODF=

1

2

×4=2，
S_梯形CDFG=

1

2

（1+2）×（4-2）=3，
則S_△OCD=S_梯形CDFG+S_△OCG-S_△ODF=3；
（3）作MH⊥x軸于點H．
則△AOB、△ABM、△BMH都是兩直角邊的比是1：2的直角三角形．
當∠BAM=∠OAB=90°時，OM=m，OA=2m，得：
BH=

1

2

OA=m，MH=

1

2

OB=

1

2

m，
從而得到點M的坐標為（2m，

1

2

m）．
代入雙曲線解析式為：2m=

1

2

m，
解得：m=2，則點M的坐標為（4，1）．
同理：當∠BAM=∠OBA時，點M的坐標為（

10

，

2 10

5

）．
綜上所述，滿足條件的點M的坐標是：（4，1）或（

10

，

2 10

5

）．

點評：本題是一次函數與反比例函數以及相似三角形的判定與性質的綜合題，正確求得（3）中M的坐標是解決本題的關鍵．