Question

【題目】如圖，已知⊙O 的半徑長為2，點C為直徑AB的延長線上一點，且BC=2．過點C任作一條直線l．若直線l上總存在點P，使得過點P所作的⊙O 的兩條切線互相垂直，則∠ACP的最大值等于__________°．

Answer 1

【答案】45

【解析】

根據切線的性質和已知條件先證得四邊形PMON是正方形，從而求得OP= ，以O為圓心，以長為半徑作大圓⊙O，然后過C點作大⊙O的切線，切點即為P點，此時∠ACP有最大值，作出圖形，根據切線的性質得出OP⊥PC，根據勾股定理求得PC的長，從而證得△OPC是等腰直角三角形，即可證得∠ACP的最大值為45°．

∵PM、PN是過P所作的⊙O的兩切線且互相垂直，

∴∠MON=90°，

∴四邊形PMON是正方形，

根據勾股定理求得，

∴P點在以O為圓心，以長為半徑作大圓⊙O上，

以O為圓心，以長為半徑作大圓⊙O，然后過C點作大⊙O的切線，切點即為P點，此時∠ACP有最大值，如圖所示，

，

∵PC是大圓⊙O的切線，

∴OP⊥PC，∵OC=4，OP= ，

∴PC= ，

∴OP=PC，

∴∠ACP=45°，

∴∠ACP的最大值等于45°．故答案為45．