Question

【題目】 如圖，AB是⊙O的直徑，C為⊙O上一點，過點B作經過點C的直線CD的垂線，垂足為E（即BE⊥CD），BE交⊙O于點F，且BC平分∠ABE．

（1）求證：CD為⊙O的切線；

（2）若AB=10，CE=4，求線段EF的長．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）EF=2．

【解析】

（1）連接OC，證CD⊥OC即可，因為BE⊥CD，所以只要證OC∥BE即可，而根據等邊對等角，以及角平分線的定義，即可證得∠OCB=∠EBC，則OC∥BE；（2）連接AC,則△ABC∽△CBE,設AC=x，，由勾股定理可得，由圖知AC＜BC，所以，BC=，BE=8，由切割線定理可求出EF．

解：（1）連接OC．∵OC=OB，

∴∠ABC=∠OCB，

又∵∠EBC=∠ABC，

∴∠OCB=∠EBC，

∴OC∥BE，

∵BE⊥CD，

∴OC⊥CD，

∴CD是⊙O的切線；

（2）連接AC,因為AB是直徑，所以∠ACB＝90°

又BC平分∠ABE所以△ABC∽△CBE

設AC=x，所以，

由勾股定理可得，由圖知AC＜BC,所以，BC=，BE=8

由切割線定理得：，所以，

所以EF=2．