Question

【題目】探究：

某學校數學社團遇到這樣一個題目：如圖①，在中，點在線段上， ， ， ，．求的長．

經過社團成員討論發現，過點作，交的延長線于點，連結，如圖②所示，通過構造就可以解決問題．

請你寫出求、的度數和求長的過程．

應用：

如圖③，在四邊形中，對角線與相交于點， ， ，．若，則的長為 ， 的長為 ．

Answer 1

【答案】探究：∠ADB =75°，∠ABD =75°，AB=；應用：8，

【解析】

根據平行線的性質可得出∠ADB＝∠OAC＝75°，結合∠BOD＝∠COA可得出△BOD∽△COA，利用相似三角形的性質可求出OD的值，進而可得出AD的值，由三角形內角和定理可得出∠ABD＝75°＝∠ADB，由等角對等邊可得出AB＝AD＝，此題得解；過點B作BE∥AD交AC于點E，可得出AE＝，在Rt△AEB中，利用勾股定理可求出BE的長度，再在Rt△CAD中，利用勾股定理可求出DC的長．

∵BD∥AC，

∴∠ADB=∠OAC=75°

∵∠BAD=30°，

∴∠ABD=180°-∠BAD-∠ADB=75°．

∴∠ADB=∠ABD．

∴AB=AD．

∵BD∥AC，

∴．

∵AO=，

∴OD=OA=．

∴AD=OA+OD=．

∴AB=．

過點B作BE∥AD交AC于點E，如圖所示．

∵AC⊥AD，BE∥AD，
∴∠DAC＝∠BEA＝90°．
∵∠AOD＝∠EOB，
∴△AOD∽△EOB，
∴．
∵BO：OD＝1：3，
∴．
∵AO＝3，
∴EO＝，
∴AE＝．
∵∠ABC＝∠ACB＝75°，
∴∠BAC＝30°，AB＝AC，
∴AB＝2BE．
在Rt△AEB中，BE2＋AE2＝AB2，即（4）2＋BE2＝（2BE）2，
解得：BE＝4，
∴AB＝AC＝8，AD＝12．
在Rt△CAD中，AC2＋AD2＝CD2，即82＋122＝CD2，
解得：CD＝．