Question

【題目】在平面直角坐標系xOy中，對于任意三點A，B，C的“矩面積”，給出如下定義：
“水平底”a：任意兩點橫坐標差的最大值，“鉛垂高”h：任意兩點縱坐標差的最大值，則“矩面積”S=ah．
例如：三點坐標分別為A（1，2），B（﹣3，1），C（2，﹣2），則“水平底”a=5，“鉛垂高”h=4，“矩面積”S=ah=20．
（1）已知點A（1，2），B（﹣3，1），P（0，t）．
①若A，B，P三點的“矩面積”為12，求點P的坐標；
②直接寫出A，B，P三點的“矩面積”的最小值．
（2）已知點E（4，0），F（0，2），M（m，4m），N（n， ），其中m＞0，n＞0．
①若E，F，M三點的“矩面積”為8，求m的取值范圍；
②直接寫出E，F，N三點的“矩面積”的最小值及對應n的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）

解：由題意：a=4．

①當t＞2時，h=t﹣1，

則4（t﹣1）=12，可得t=4，故點P的坐標為（0，4）；

當t＜1時，h=2﹣t，

則4（2﹣t）=12，可得t=﹣1，故點P 的坐標為（0，﹣1）；

②∵根據題意得：h的最小值為：1，

∴A，B，P三點的“矩面積”的最小值為4

（2）

解：①∵E，F，M三點的“矩面積”為8，

∴a=4，h=2，

∴ ．

∴0≤m≤ ．

∵m＞0，

∴0＜m≤ ；

②∵當n≤4時，a=4，h= ，此時S=ah= ，

∴當n=4時，取最小值，S=16；

當4＜n＜8時，a=n，h= ，此時S=ah=16；

當n≥8時，a=n，h=2，此時S=ah=2n，

∴當n=8時，取最小值，S=16；

∴E，F，N三點的“矩面積”的最小值為16，此時n的取值范圍為4≤n≤8

【解析】（1）①首先由題意：a=4，然后分別從①當t＞2時，h=t﹣1，當t＜1時，h=2﹣t，去分析求解即可求得答案；②首先根據題意得：h的最小值為：1，繼而求得A，B，P三點的“矩面積”的最小值．（2）①由E，F，M三點的“矩面積”的最小值為8，可得a=4，h=2，即可得 ．繼而求得m的取值范圍；②分別從當n≤4時，a=4，h= ，當4＜n＜8時，a=n，h= ，當n≥8時，a=n，h=2，去分析求解即可求得答案．