Question

9．如圖，點B、C、D都在半徑為6的⊙O上，過點C作AC∥BD交OB的延長線于點A，連接CD，已知∠CDB=∠OBD=30°．
（1）求證：AC是⊙O的切線；
（2）求圖中陰影部分的面積．

Answer 1

分析 （1）連接OC，根據圓周角定理得到∠BOC=2∠CDB=60°，得到OC⊥BD，根據平行線的性質得到OC⊥AC，根據切線的判定定理證明結論；
（2）根據扇形的面積公式、三角形的面積公式計算即可．

解答 （1）證明：連接OC，
由圓周角定理得，∠BOC=2∠CDB=60°，
∵∠OBD=30°，
∴OC⊥BD，
∵AC∥BD，
∴OC⊥AC，
∴AC是⊙O的切線；
（2）解：扇形OBC的面積=$\frac{60π×{6}^{2}}{360}$=6π，
∵OB=6，∠OBH=30°，
∴OH=3，BH=3$\sqrt{3}$，
△OBH的面積=$\frac{1}{2}$×BH×OH=$\frac{1}{2}$×3$\sqrt{3}$×3=$\frac{9}{2}$$\sqrt{3}$，
△HCD的面積=$\frac{1}{2}$×6×3$\sqrt{3}$×$\frac{1}{2}$=$\frac{9\sqrt{3}}{2}$$\sqrt{3}$，
∴陰影部分的面積=6π-$\frac{9\sqrt{3}}{2}$$\sqrt{3}$+$\frac{9\sqrt{3}}{2}$$\sqrt{3}$=6π．

點評 本題考查的是切線的判定、扇形面積的計算，掌握切線的判定定理、扇形的面積公式是解題的關鍵．