Question

【題目】如圖，四邊形ABCD為菱形，對角線AC，BD相交于點E，F(xiàn)是邊BA延長線上一點，連接EF，以EF為直徑作⊙O，交DC于D，G兩點，AD分別于EF，GF交于I，H兩點．

（1）求∠FDE的度數(shù)；
（2）試判斷四邊形FACD的形狀，并證明你的結(jié)論；
（3）當(dāng)G為線段DC的中點時，
①求證：FD=FI；
②設(shè)AC=2m，BD=2n，求⊙O的面積與菱形ABCD的面積之比．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵EF是⊙O的直徑，∴∠FDE=90°；

（2）

解：四邊形FACD是平行四邊形．

理由如下：

∵四邊形ABCD是菱形，

∴AB∥CD，AC⊥BD，

∴∠AEB=90°．

又∵∠FDE=90°，

∴∠AEB=∠FDE，

∴AC∥DF，

∴四邊形FACD是平行四邊形；

（3）

解：①連接GE，如圖．

∵四邊形ABCD是菱形，∴點E為AC中點．

∵G為線段DC的中點，∴GE∥DA，

∴∠FHI=∠FGE．

∵EF是⊙O的直徑，∴∠FGE=90°，

∴∠FHI=90°．

∵∠DEC=∠AEB=90°，G為線段DC的中點，

∴DG=GE，

∴=，

∴∠1=∠2．

∵∠1+∠3=90°，∠2+∠4=90°，

∴∠3=∠4，

∴FD=FI；

②∵AC∥DF，∴∠3=∠6．

∵∠4=∠5，∠3=∠4，

∴∠5=∠6，∴EI=EA．

∵四邊形ABCD是菱形，四邊形FACD是平行四邊形，

∴DE=BD=n，AE=AC=m，F(xiàn)D=AC=2m，

∴EF=FI+IE=FD+AE=3m．

在Rt△EDF中，根據(jù)勾股定理可得：

n2+（2m）2=（3m）2，

即n=m，

∴S⊙O=π（）2=πm2，S菱形ABCD=2m2n=2mn=m2，

∴S⊙O：S菱形ABCD=．

【解析】（1）根據(jù)直徑所對的圓周角是直角即可得到∠FDE=90°；
（2）由四邊形ABCD是菱形可得AB∥CD，要證四邊形FACD是平行四邊形，只需證明DF∥AC，只需證明∠AEB=∠FDE，由于∠FDE=90°，只需證明∠AEB=90°，根據(jù)四邊形ABCD是菱形即可得到結(jié)論；
（3）①連接GE，如圖，易證GE是△ACD的中位線，即可得到GE∥DA，即可得到∠FHI=∠FGE=∠FGE=90°．根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得DG=GE，從而有= ， 根據(jù)圓周角定理可得∠1=∠2，根據(jù)等角的余角相等可得∠3=∠4，根據(jù)等角對等邊可得FD=DI；②易知S⊙O=π（）2=πm2 ， S菱形ABCD=2m2n=2mn，要求⊙O的面積與菱形ABCD的面積之比，只需得到m與n的關(guān)系，易證EI=EA=m，DF=AC=2m，EF=FI+IE=DF+AE=3m，在Rt△DEF中運用勾股定理即可解決問題．
【考點精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解等腰三角形的判定的相關(guān)知識，掌握如果一個三角形有兩個角相等，那么這兩個角所對的邊也相等（簡稱：等角對等邊）．這個判定定理常用于證明同一個三角形中的邊相等，以及對直角三角形斜邊上的中線的理解，了解直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半．