Question

【題目】如圖，在ABCD中，點E，F分別在AB，DC上，且ED⊥DB，FB⊥BD．

（1）求證：△AED≌△CFB
（2）若∠A=30°，∠DEB=45°，求證：DA=DF．

Answer 1

【答案】
（1）

證明：∵平行四邊形ABCD，∴AD=CB，∠A=∠C，AD∥CB，∴∠ADB=∠CBD，∵ED⊥DB，FB⊥BD，∴∠EDB=∠FBD=90°，∴∠ADE=∠CBF，

在△AED和△CFB中，， ∴△AED≌△CFB（ASA）

（2）

證明：作DH⊥AB，垂足為H，在Rt△ADH中，∠A=30°，∴AD=2DH，在Rt△DEB中，∠DEB=45°，∴EB=2DH，∴四邊形EBFD為平行四邊形，

∴FD=EB，∴DA=DF．

【解析】（1）由四邊形ABCD為平行四邊形，利用平行四邊形的性質得到對邊平行且相等，對角相等，再由垂直的定義得到一對直角相等，利用等式的性質得到一對角相等，利用ASA即可得證；（2）過D作DH垂直于AB，在直角三角形ADH中，利用30度所對的直角邊等于斜邊的一半得到AD=2DH，在直角三角形DEB中，利用斜邊上的中線等于斜邊的一半得到EB=2DH，易得四邊形EBFD為平行四邊形，利用平行四邊形的對邊相等得到EB=DF，等量代換即可得證．
【考點精析】通過靈活運用含30度角的直角三角形和平行四邊形的判定與性質，掌握在直角三角形中，如果一個銳角等于30°，那么它所對的直角邊等于斜邊的一半；若一直線過平行四邊形兩對角線的交點，則這條直線被一組對邊截下的線段以對角線的交點為中點，并且這兩條直線二等分此平行四邊形的面積即可以解答此題．