Question

【題目】如圖，直線與x軸交于點與y軸交于點C，拋物線經過點B，C，與x軸的另一個交點為A．

（1）求拋物線的解析式；

（2）點P是直線下方拋物線上一動點，求四邊形面積最大時點P的坐標；

（3）若M是拋物線上一點，且，請直接寫出點M的坐標．

Answer 1

【答案】（1）y=；（2）P(2，－3)；（3）點P為(3，－2)或(，)

【解析】

（1）將點B坐標代入直線，求出c的值，并求得點C的坐標，將點B、C代入拋物線可求得解析式；

（2）因為S四邊形ACPB=S△ABC+S△PCB，又因為S△ABC是常數，故四邊形面積最大，只需要S△PCB最大即可；

（3）存在2種情況，一種是點M在CB下方，根據平行可得點M的坐標；另一種是點M在CB上方，如圖，利用NB=NC來求解．

（1）∵直線過點B(4，0)

∴0=，解得：c=－2

∴直線的解析式為：y=

∵點C是直線與y軸的交點

∴C(0，－2)

將B(4，0)、C(0，－2)代入拋物線得：

解得：c=－2，b=

∴拋物線的解析式為：y=；

（2）如下圖，過點P作x軸的垂線，交CB于點H，交x軸于點G，連接CP、PB

∵S四邊形ACPB=S△ABC+S△PCB，

又∵S△ABC是常數，

∴要想四邊形面積最大，只需要S△PCB最大

設點P(x，)

由圖形可知，S△CPB=S△CPH+S△PHB

在△CPH中，以HP為底，則點C到HP的距離為高，即OG的長

在△PHB中，以HP為底，則點B到HP的距離為高，即GB的長

∴

∵A(－1,0)，B(4,0),∴OB=4

∵點P(x，)

∴點H(x，)

∴HP=+2x

∴=

∵－1＜0，∴有最大值，此時，x=

則點P(2，－3)；

（3）情況一：如下圖，點M在CB下方

∵∠ABC=∠BCM

∴AB∥CM

∴點M的縱坐標與點C的縱坐標相等

∴點M的縱坐標為－2，代入拋物線得：

－2=

解得：x=0(舍)或x=3

∴點P(3，－2)；

情況二：如下圖，點M早CB上方，連接CM交x軸于點N

∵∠MCB=∠ABC

∴△NCB是等腰三角形，NB=NC，∴

設點M(m，)

∵點C(0，－2)

∴MC所對應的直線解析式為：y=

令y=0，解得x=

∴N(，0)

∴NB=4－，

∵點C(0，－2)，點N(，0)

∴+

∴+

解得：m=

∴P(，)

綜上得：點P為(3，－2)或(，)．