Question

【題目】如圖，四邊形ABCD的對角線AC⊥BD于點E，AB＝BC，F為四邊形ABCD外一點，且∠FCA＝90°，∠CBF＝∠DCB．

（1）求證：四邊形DBFC是平行四邊形；

（2）如果BC平分∠DBF，∠F＝45°，BD＝2，求AC的長．

Answer 1

【答案】（1）見解析 （2）2

【解析】

（1）證BD∥CF，CD∥BF，即可得出四邊形DBFC是平行四邊形；
（2）由平行四邊形的性質得出CF=BD=2，由等腰三角形的性質得出AE=CE，作CM⊥BF于F，則CE=CM，證出△CFM是等腰直角三角形，由勾股定理得出CM=，得出AE=CE=，即可得出AC的長．

（1）∵AC⊥BD，∠FCA=90°，∠CBF=∠DCB．
∴BD∥CF，CD∥BF，
∴四邊形DBFC是平行四邊形；
（2）∵四邊形DBFC是平行四邊形，

∴CF=BD=2，
∵AB=BC，AC⊥BD，
∴AE=CE，
作CM⊥BF于F，
∵BC平分∠DBF，
∴CE=CM，
∵∠F=45°，
∴△CFM是等腰直角三角形，

∴CF=CM
∴CM=，
∴AE=CE=CM=，
∴AC=2．