Question

【題目】如圖，等邊三角形ABC邊長是定值，點O是它的外心，過點O任意作一條直線分別交AB，BC于點D，E．將△BDE沿直線DE折疊，得到△B′DE，若B′D，B′E分別交AC于點F，G，連接OF，OG，則下列判斷錯誤的是（　　）

A. △ADF≌△CGE

B. △B′FG的周長是一個定值

C. 四邊形FOEC的面積是一個定值

D. 四邊形OGB'F的面積是一個定值

Answer 1

【答案】D

【解析】A、根據等邊三角形ABC的外心的性質可知：AO平分∠BAC，根據角平分線的定理和逆定理得：FO平分∠DFG，由外角的性質可證明∠DOF=60°，同理可得∠EOG=60°，∠FOG=60°=∠DOF=∠EOG，可證明△DOF≌△GOF≌△GOE，△OAD≌△OCG，△OAF≌△OCE，可得AD=CG，AF=CE，從而得△ADF≌△CGE；

B、根據△DOF≌△GOF≌△GOE，得DF=GF=GE，所以△ADF≌△B'GF≌△CGE，可得結論；

C、根據S四邊形FOEC=S△OCF+S△OCE，依次換成面積相等的三角形，可得結論為：S△AOC=S△ABC（定值），可作判斷；

D、方法同C，將S四邊形OGB'F=S△OAC-S△OFG，根據S△OFG=FGOH，FG變化，故△OFG的面積變化，從而四邊形OGB'F的面積也變化，可作判斷．

A、連接OA、OC，

∵點O是等邊三角形ABC的外心，

∴AO平分∠BAC，

∴點O到AB、AC的距離相等，

由折疊得：DO平分∠BDB'，

∴點O到AB、DB'的距離相等，

∴點O到DB'、AC的距離相等，

∴FO平分∠DFG，

∠DFO=∠OFG=（∠FAD+∠ADF），

由折疊得：∠BDE=∠ODF=（∠DAF+∠AFD），

∴∠OFD+∠ODF=（∠FAD+∠ADF+∠DAF+∠AFD）=120°，

∴∠DOF=60°，

同理可得∠EOG=60°，

∴∠FOG=60°=∠DOF=∠EOG，

∴△DOF≌△GOF≌△GOE，

∴OD=OG，OE=OF，

∠OGF=∠ODF=∠ODB，∠OFG=∠OEG=∠OEB，

∴△OAD≌△OCG，△OAF≌△OCE，

∴AD=CG，AF=CE，

∴△ADF≌△CGE，

故選項A正確；

B、∵△DOF≌△GOF≌△GOE，

∴DF=GF=GE，

∴△ADF≌△B'GF≌△CGE，

∴B'G=AD，

∴△B'FG的周長=FG+B'F+B'G=FG+AF+CG=AC（定值），

故選項B正確；

C、S四邊形FOEC=S△OCF+S△OCE=S△OCF+S△OAF=S△AOC=S△ABC（定值），

故選項C正確；

D、S四邊形OGB'F=S△OFG+S△B'GF=S△OFD+△ADF=S四邊形OFAD=S△OAD+S△OAF=S△OCG+S△OAF=S△OAC-S△OFG，

過O作OH⊥AC于H，

∴S△OFG=FGOH，

由于OH是定值，FG變化，故△OFG的面積變化，從而四邊形OGB'F的面積也變化，

故選項D不一定正確；

故選：D．