Question

【題目】如圖，四邊形OABC的四個頂點坐標分別為O（0，0），A（8，0），B（4，4），C（0，4），直線l：y=x+b保持與四邊形OABC的邊交于點M、N（M在折線AOC上，N在折線ABC上）．設四邊形OABC在l右下方部分的面積為S1 ， 在l左上方部分的面積為S2 ， 記S為S1、S2的差（S≥0）．

（1）求∠OAB的大小；
（2）當M、N重合時，求l的解析式；
（3）當b≤0時，問線段AB上是否存在點N使得S=0？若存在，求b的值；若不存在，請說明理由；
（4）求S與b的函數關系式．

Answer 1

【答案】
（1）

解：過點B過BE⊥x軸，垂足為E．點E（4，0），

∴BE=4，AE=4，

∴△ABE為等腰直角三角形，

∴∠OAB=45°，

答：∠OAB=45°．

（2）

解：當點M、N重合到點C（0，4），

把C（0，4）代入y=x+b得：b=4，

∴直線l的解析式y=x+4；

當點M、N重合到點A（8，0）時，把（8，0）帶入y=x+b得b=﹣8，

∴直線l的解析式為y=x﹣8．

（3）

解：四邊形OABC的面積為 ×4（4+8）=24，

直線l：y=x+b與x軸的交角為45°，△AMN為等腰直角三角形．

當S=0時，△AMN的面積為四邊形OABC的面積的一半，即12．

過點N作x軸的垂線NH，

則NH=AH=MH，

設NH=a，

×2a×a=12，

解得：a=2 ，

∴OH=8﹣2 ，

∴點N的坐標為（8﹣2 ，2 ），

代入y=x+b得：b=4 ﹣8．

答：當b≤0時，線段AB上存在點N使得S=0，b的值是4 ﹣8．

（4）

解：分為三種情況：

①如圖在N1、M1時，當4 ﹣8≤b＜0時，

OM=﹣b，AM=8﹣（﹣b）=8+b，

設直線AB的解析式是y=cx+d，

把A（8，0），B（4，4）代入得： ，

解得： ，

y=﹣x+8，

解方程組 得： ，

S1= AM×NH= ×2× × = b2+4b+16；

S2=24﹣S1，4

S=|S1﹣S2|= b2+4b+16﹣[24﹣（ b2+4b+16）]= b2+8b+8，

②當0≤b≤4時，如圖在N2、M2點時，OM=b，CM=4﹣b，

S2= （4﹣b）2，S1=24﹣S2，

S=S1﹣S2=﹣b2+8b+8，

③﹣8＜a＜﹣8+4 時，如圖，在N3、M3時，S1= ×2× × = b2+4b+16；

S2=24﹣S1，

S=S2﹣S1=[24﹣（ b2+4b+16）]﹣（ b2+4b+16）=﹣ b2+8b+8．

綜上可得，S= ．

【解析】（1）過點B過BE⊥x軸，垂足為E．求出點E的坐標，求出等腰直角三角形ABE即可；（2）把A（8，0）C（0，4）點代入y=x+b求出即可；（3）求出梯形的面積，過點N作x軸的垂線NH，得到NH=AH=MH，設NH=a，代入面積公式求出a，代入解析式求出b即可；（4）分為三種情況：①當0≤b≤4時，②當4 ﹣8≤b＜0時，③③﹣8＜a＜﹣8+4 時，設直線AB的解析式是y=cx+d，把A（8，0），B（4，4）代入求出解析式，解兩直線組成的方程組，求出交點坐標，根據梯形和三角形的面積求出S即可．
【考點精析】掌握一次函數的圖象和性質是解答本題的根本，需要知道一次函數是直線，圖像經過仨象限；正比例函數更簡單,經過原點一直線；兩個系數k與b,作用之大莫小看，k是斜率定夾角,b與Y軸來相見,k為正來右上斜,x增減y增減；k為負來左下展,變化規律正相反；k的絕對值越大,線離橫軸就越遠．