Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，直角三角形AOB的頂點A、B分別落在坐標軸上．O為原點，點A的坐標為（6，0），點B的坐標為（0，8）．動點M從點O出發．沿OA向終點A以每秒1個單位的速度運動，同時動點N從點A出發，沿AB向終點B以每秒 個單位的速度運動．當一個動點到達終點時，另一個動點也隨之停止運動，設動點M、N運動的時間為t秒（t＞0）．

（1）當t=3秒時．直接寫出點N的坐標，并求出經過O、A、N三點的拋物線的解析式；
（2）在此運動的過程中，△MNA的面積是否存在最大值？若存在，請求出最大值；若不存在，請說明理由；
（3）當t為何值時，△MNA是一個等腰三角形？

Answer 1

【答案】
（1）

解：由題意，A（6，0）、B（0，8），則OA=6，OB=8，AB=10；

當t=3時，AN= t=5= AB，即N是線段AB的中點；

∴N（3，4）．

設拋物線的解析式為：y=ax（x﹣6），則：

4=3a（3﹣6），a=﹣ ；

∴拋物線的解析式：y=﹣ x（x﹣6）=﹣ x2+ x

（2）

解：過點N作NC⊥OA于C；

由題意，AN= t，AM=OA﹣OM=6﹣t，NC=NAsin∠BAO= t = t；

則：S△MNA= AMNC= ×（6﹣t）× t=﹣ （t﹣3）2+6．

∴△MNA的面積有最大值，且最大值為6

（3）

解：∵Rt△NCA中，AN= t，NC=ANsin∠BAO= t，AC=ANcos∠BAO=t；

∴OC=OA﹣AC=6﹣t，

∴N（6﹣t， t）．

∴NM= = ；

又：AM=6﹣t，AN= t（0＜t≤6）；

①當MN=AN時， = t，即：t2﹣8t+12=0，t1=2，t2=6（舍去）；

②當MN=MA時， =6﹣t，即： t2﹣12t=0，t1=0（舍去），t2= ；

③當AM=AN時，6﹣t= t，即t= ；

綜上，當t的值取2或 或 時，△MAN是等腰三角形

【解析】（1）根據A、B的坐標，可得到OA=6、OB=8、AB=10；當t=3時，AN=5，即N是AB的中點，由此得到點N的坐標．然后利用待定系數法求出拋物線的解析式．（2）△MNA中，過N作MA邊上的高NC，先由∠BAO的正弦值求出NC的表達式，而AM=OA﹣OM，由三角形的面積公式可得到關于S△MNA、t的函數關系式，利用所得函數的性質即可求出△MNA的最大面積．（3）首先求出N點的坐標，然后表示出AM、MN、AN三邊的長；由于△MNA的腰和底不確定，若該三角形是等腰三角形，可分三種情況討論：①MN=NA、②MN=MA、③NA=MA；直接根據等量關系列方程求解即可．