Question

【題目】閱讀下面材料，然后解答問題：
在平面直角坐標(biāo)系中，以任意兩點(diǎn)P（x1 ， y1），Q（x2 ， y2）為端點(diǎn)的線段的中點(diǎn)坐標(biāo)為（ ， ）．如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，雙曲線y= （x＜0）和y= （x＞0）的圖象關(guān)于y軸對稱，直線y= + 與兩個圖象分別交于A（a，1），B（1，b）兩點(diǎn)，點(diǎn)C為線段AB的中點(diǎn)，連接OC、OB．

（1）求a、b、k的值及點(diǎn)C的坐標(biāo)；
（2）若在坐標(biāo)平面上有一點(diǎn)D，使得以O(shè)、C、B、D為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，請求出點(diǎn)D的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】
（1）

解：依題意得 ，

解得 ，

∴A（﹣3，1），B（1，3），

∵點(diǎn)B在雙曲線y= （x＞0）上，

∴k=1×3=3，

∵點(diǎn)C為線段AB的中點(diǎn)，

∴點(diǎn)C坐標(biāo)為（ ， ），即為（﹣1，2）

（2）

解：將線段OC平移，使點(diǎn)O（0，0）移到點(diǎn)B（1，3），則點(diǎn)C（﹣1，2）移到點(diǎn)D（0，5），此時四邊形OCDB是平行四邊形；

將線段OC平移，使點(diǎn)C（﹣1，2）移到點(diǎn)B（1，3），則點(diǎn)O（0，0）移到點(diǎn)D（2，1），此時四邊形OCBD是平行四邊形；

線段BO平移，使點(diǎn)B（1，3）移到點(diǎn)C（﹣1，2），則點(diǎn)O（0，0）移到點(diǎn)D（﹣2，﹣1），此時四邊形BODC是平行四邊形．

綜上所述，符合條件的點(diǎn)D坐標(biāo)為（0，5）或（2，1）或（﹣2，﹣1）．

【解析】（1）首先把A（a，1），B（1，b）代入y= 和y= + 可以得到方程組，解方程組即可算出a、b的值，繼而得到A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)，再把B點(diǎn)坐標(biāo)代入雙曲線y= （x＞0）上，即可算出k值，再根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式算出C點(diǎn)坐標(biāo)；（2）此題分三個情況：①四邊形OCDB是平行四邊形，②四邊形OCBD是平行四邊形，③四邊形BODC是平行四邊形．根據(jù)點(diǎn)的平移規(guī)律可得到D點(diǎn)坐標(biāo)．