Question

20．已知直線l₁：y=-$\frac{1}{2}$x-1分別與x、y軸交于點A、B．將直線l₁平移后過點C（4，0）得到直線l₂，l₂交直線AD于點E，交y軸于點F，且EA=EC．
（1）求直線l₂的解析式；
（2）若點P為x軸上任一點，是否存在點P，使△DEP的周長最小，若存在，求周長的最小值及點P的坐標；
（3）已知M為第二象限內直線l₂上任一點，過點M作MN平行于y軸，交直線l₁于點N，點H為直線AE上任一點．是否存在點M，使得△MNH是以H點為直角頂點的等腰直角三角形？若存在，求出點M的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）利用平移的性質和點C的坐標用待定系數法即可得出結論；
（2）先確定出點A，B坐標，進而得出點E坐標，即可確定出直線AE解析式，判斷出點B，D關于x軸對稱，連接BE和x軸的交點就是點P，利用兩點間的距離即可得出周長的最小值；
（3）設出點M坐標，進而依次表示出點N，G，H的坐標，利用等腰直角三角形的性質即可求出m的值即可．

解答 解：（1）∵直線l₁平移后過點C（4，0）得到直線l₂，
∴設直線l₂解析式為y=-$\frac{1}{2}$x+b，
∵點C（4，0）在直線l₂上，
∴0=-$\frac{1}{2}$×4+b，
∴b=2，
∴直線l₂解析式為y=-$\frac{1}{2}$x+2，
（2）如圖，
∵直線l₁：y=-$\frac{1}{2}$x-1分別與x、y軸交于點A、B．
∴A（-2，0），B（0，-1），
∵C（4，0），
當x=$\frac{-2+4}{2}$=1時，y=-$\frac{1}{2}$×1+2=$\frac{3}{2}$，
∴E（1，$\frac{3}{2}$），
∵A（-2，0），
∴直線AE解析式為y=$\frac{1}{2}$x+1，
∴D（0，1），
∴點B，D關于x軸對稱，
∴連接BE與x軸的交點就是P，
∵B（-1，0），E（1，$\frac{3}{2}$），
∴直線BE的解析式為y=$\frac{5}{2}$x-1，
∴P（$\frac{2}{5}$，0），
∴△DEP的周長最小值=DE+BE=$\sqrt{1+\frac{1}{4}}$+$\sqrt{4+\frac{9}{4}}$=$\frac{\sqrt{5}}{2}$+$\frac{5}{2}$=$\frac{5+\sqrt{5}}{2}$，
（3）存在，
理由：如圖1，過點H作HG⊥MN，
∴直線l₂解析式為y=-$\frac{1}{2}$x+2，
∴設M（m，-$\frac{1}{2}$m+2）（m＜0），
∵MN平行于y軸，交直線l₁于點N，
∴N（m，-$\frac{1}{2}$m-1），
∴MN=-$\frac{1}{2}$m+2-（-$\frac{1}{2}$m-1）=3，G（m，-$\frac{1}{2}$m+$\frac{1}{2}$），
∵點H在直線AE上，
∴H（-m-1，-$\frac{1}{2}$m+$\frac{1}{2}$），
∴HG=|-m-1-m|=|-2m-1|，
∵△MNH是以H點為直角頂點的等腰直角三角形，
∴HG=$\frac{1}{2}$MN=$\frac{3}{2}$，
∴|-2m-1|=$\frac{3}{2}$，
∴m=$\frac{1}{4}$（舍）或m=-$\frac{5}{4}$，
∴M（-$\frac{5}{4}$，$\frac{13}{8}$）．

點評 此題是一次函數綜合題，主要考查了待定系數法，平移的性質，最值的確定，等腰直角三角形的性質，用待定系數法確定直線解析式是解本題的關鍵，是一道中等難點的中考常考題．