Question

【題目】如圖，在△ABC中，∠A=90°，AB=2cm，AC=4cm．動點P從點A出發，沿AB方向以1cm/s的速度向點B運動，動點Q從點B同時出發，沿BA方向以1cm/s的速度向點A運動．當點P到達點B時，P，Q兩點同時停止運動，以AP為一邊向上作正方形APDE，過點Q作QF∥BC，交AC于點F．設點P的運動時間為ts，正方形和梯形重合部分的面積為Scm2．

（1）當t=　_________　s時，點P與點Q重合；

（2）當t=　_________　s時，點D在QF上；

（3）當點P在Q，B兩點之間（不包括Q，B兩點）時，求S與t之間的函數關系式．

Answer 1

【答案】（1）1 （2）（3）

【解析】

試題（1）當點P與點Q重合時，AP=BQ=t，且AP+BQ=AB=2，

∴t+t=2，解得t=1s，

故填空答案：1．

（2）當點D在QF上時，如答圖1所示，此時AP=BQ=t．

∵QF∥BC，APDE為正方形，∴△PQD∽△ABC，

∴DP：PQ=AC：AB=2，則PQ=DP=AP=t．

由AP+PQ+BQ=AB=2，得t+t+t=2，解得：t=．

故填空答案：．

（3）當P、Q重合時，由（1）知，此時t=1；

當D點在BC上時，如答圖2所示，此時AP=BQ=t，BP=t，求得t=s，進一步分析可知此時點E與點F重合；

當點P到達B點時，此時t=2．

因此當P點在Q，B兩點之間（不包括Q，B兩點）時，其運動過程可分析如下：

①當1＜t≤時，如答圖3所示，此時重合部分為梯形PDGQ．

此時AP=BQ=t，∴AQ=2﹣t，PQ=AP﹣AQ=2t﹣2；

易知△ABC∽△AQF，可得AF=2AQ，EF=2EG．

∴EF=AF﹣AE=2（2﹣t）﹣t=4﹣3t，EG=EF=2﹣t，

∴DG=DE﹣EG=t﹣（2﹣t）=t﹣2．

S=S梯形PDGQ=（PQ+DG）PD=[（2t﹣2）+（t﹣2）]t=t2﹣2t；

②當＜t＜2時，如答圖4所示，此時重合部分為一個多邊形．

此時AP=BQ=t，∴AQ=PB=2﹣t，

易知△ABC∽△AQF∽△PBM∽△DNM，可得AF=2AQ，PM=2PB，DM=2DN，

∴AF=4﹣2t，PM=4﹣2t．

又DM=DP﹣PM=t﹣（4﹣2t）=3t﹣4，∴DN=（3t﹣4）．

S=S正方形APDE﹣S△AQF﹣S△DMN=AP2﹣AQAF﹣DNDM

=t2﹣（2﹣t）（4﹣2t）﹣×（3t﹣4）×（3t﹣4）

=﹣t2+10t﹣8．

綜上所述，當點P在Q，B兩點之間（不包括Q，B兩點）時，S與t之間的函數關系式為：

S=．