Question

4．如圖，A、B（0，2）兩點關于x軸對稱，點P為x軸正半軸上任意一點．點C在線段PB上，AC交x軸于點M，CD平分∠ACB交x軸于點D．
（1）如圖，若CB=CM，連BD．求證：BD=MD；
（2）在（1）的條件下，連接AD，若點N在線段AM上（不含A、M點）運動，且NE⊥PD于E，NF⊥AD于F．則在N點運動的過程中，NE+NF的值是否發生變化？若不變，請證明求值；若變化，請求出變化范圍．
（3）若點C在線段PB（不含P、B兩點）運動，其余條件不變，OH∥CD分別交AC、PB于G，H，在C點的運動過程中，$\frac{AC-BH}{CG}$的值是否發生變化？若不變，證明并求值；若變化，請求出變化范圍．

Answer 1

分析 （1）直接判斷△DCB≌△DCM即可得出結論；
（2）由對稱得出BD=AD，結合（1）的結論得出AD=DM，最后用面積公式即可得出結論；
（3）先用△BCQ∽△BHO，得出$\frac{BC}{BH}=\frac{BQ}{BO}$①，再用角平分線定理得出$\frac{BC}{AC}=\frac{BQ}{AQ}$②，再用平行線分線段成比例定理即可得出$\frac{CG}{AC}=\frac{OQ}{AQ}$④，進而用這三個比例式即可得出結論．

解答 解：（1）如圖1，連接BD，
∵CD平分∠ACB交x軸于點D，
∴∠DCB=∠DCM，
在△DCB和△DCM中，$\left\{\begin{array}{l}{CB=CM}\\{∠DCB=∠DCM}\\{CD=CD}\end{array}\right.$，
∴△DCB≌△DCM，
∴BD=MD，
（2）NE+NF的值是不發生變化，
理由：如圖2，連接BD，DN，
∵A、B（0，2）兩點關于x軸對稱，
∴BD=AD，
由（1）知，BD=MD，
∴AD=MD，
∵NE⊥PD于E，NF⊥AD于F，
∴S_△ADM=S_△DMN+S_△DAN=$\frac{1}{2}$DM•NE+$\frac{1}{2}$AD•NF=$\frac{1}{2}$DM•NE+$\frac{1}{2}$DM•NF=$\frac{1}{2}$DM•（NE+NF），
∵OA⊥DM．
∴S_△ADM=$\frac{1}{2}$DM•OA，
∴$\frac{1}{2}$DM•（NE+NF）=$\frac{1}{2}$DM•OA，
∴NE+NF=OA，
∵B（0，2），
∴OB=2，
∵A、B（0，2）兩點關于x軸對稱，
∴OA=OB=2，
∴NE+NF=2．
即：NE+NF是定值，為2；
（3）$\frac{AC-BH}{CG}$的值是不發生變化，
理由：如圖3，，∵A、B（0，2）兩點關于x軸對稱，
∴OA=OB=2，
∵OH∥CD，
∴△BCQ∽△BHO，
∴$\frac{BC}{BH}=\frac{BQ}{BO}$①
∵CD平分∠ACB交x軸于點D．
∴$\frac{BC}{AC}=\frac{BQ}{AQ}$②，
∴②÷①得，$\frac{BH}{AC}=\frac{BO}{AQ}$③，
∵OH∥CD，
∴$\frac{CG}{AC}=\frac{OQ}{AQ}$④，
∴③÷④得，$\frac{BH}{CG}=\frac{BO}{OQ}$⑤，
∴$\frac{AC-BH}{CG}$=$\frac{AC}{CG}-\frac{BH}{CG}$=$\frac{AQ}{OQ}$-$\frac{BO}{OQ}$=$\frac{AQ-BO}{OQ}$=$\frac{OA+OQ-BO}{OQ}$=1．
即：$\frac{AC-BH}{CG}$的值是定值，為1．

點評 此題是幾何變換綜合題，主要考查了全等三角形的判定和性質，軸對稱，平行線分線段成比例定理，相似三角形的判定和性質，角平分線的性質定理，解本題的關鍵是得出比例式，幾個比例的處理得出結論是解本題的難點．