Question

7．如圖1，點P為∠MON的平分線上一點，以P為頂點的角的兩邊分別與射線OM，ON交于A，B兩點，如果∠APB繞點P旋轉時始終滿足OA•OB=OP²，我們就把∠APB叫做∠MON的智慧角．
（1）如圖2，已知∠MON=90°，點P為∠MON的平分線上一點，以點P為頂點的角的兩邊分別與射線OM，ON交于A，B兩點，且∠APB=135°．求證：∠APB是∠MON的智慧角；
（2）如圖3，C是函數y=$\frac{3}{x}$（x＞0）圖象上的一個動點，過點C的直線CD分別交x軸和y軸于點A，B兩點，且滿足BC=2CA，請求出∠AOB的智慧角∠APB的頂點P的坐標．

Answer 1

分析 （1）由角平分線求出∠AOP=∠BOP=$\frac{1}{2}$∠MON=45°，再證出∠OAP=∠OPB，證明△AOP∽△POB，得出對應邊成比例$\frac{OA}{OP}=\frac{OP}{OB}$，得出OP²=OA•OB，即可得出結論；
（2）設點C（a，b），則ab=3，過點C作CH⊥OA于H；分兩種情況：
①當點B在y軸正半軸上時；當點A在x軸的負半軸上時，BC=2CA不可能；當得A在x軸的正半軸上時；先求出$\frac{CA}{AB}=\frac{1}{3}$，由平行線得出△ACH∽△ABO，得出比例式：$\frac{CH}{OB}=\frac{AH}{OA}=\frac{CA}{AB}=\frac{1}{3}$，得出OB=3b，OA=$\frac{3}{2}$a，求出OA•OB=$\frac{27}{2}$，根據∠APB是∠AOB的智慧角，得出OP，即可得出點P的坐標；
②當點B在y軸的負半軸上時；由題意得出：AB=CA，由AAS證明△ACH≌△ABO，得出OB=CH=b，OA=AH=$\frac{1}{2}$a，得出OA•OB=$\frac{3}{2}$，求出OP，即可得出點P的坐標．

解答 （1）證明：∵∠MON=90°，P為∠MON的平分線上一點，
∴∠AOP=∠BOP=$\frac{1}{2}$∠MON=45°，
∵∠AOP+∠OAP+∠APO=180°，
∴∠OAP+∠APO=135°，
∵∠APB=135°，
∴∠APO+∠OPB=135°，
∴∠OAP=∠OPB，
∴△AOP∽△POB，
∴$\frac{OA}{OP}=\frac{OP}{OB}$，
∴OP²=OA•OB，
∴∠APB是∠MON的智慧角；

（2）設點C（a，b），則ab=3，
過點C作CH⊥OA于H；分兩種情況：
①當點B在y軸正半軸上時；當點A在x軸的負半軸上時，如圖2：
BC=2CA不可能；
當點A在x軸的正半軸上時，如圖3：
∵BC=2CA，
∴$\frac{CA}{AB}=\frac{1}{3}$，
∵CH∥OB，
∴△ACH∽△ABO，
∴$\frac{CH}{OB}=\frac{AH}{OA}=\frac{AC}{AB}=\frac{1}{3}$，
∴OB=3b，OA=$\frac{3}{2}$a，
∴OA•OB=$\frac{3}{2}$a•3b=$\frac{9ab}{2}$=$\frac{27}{2}$，
∵∠APB是∠AOB的智慧角，
∴OP=$\sqrt{OA•OB}=\sqrt{\frac{27}{2}}$=$\frac{3\sqrt{6}}{2}$，
∵∠AOB=90°，OP平分∠AOB，
∴點P到x，y軸的距離相等為$\frac{3\sqrt{3}}{2}$
∴點P的坐標為：（$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，$\frac{3\sqrt{3}}{2}$）；
②當點B在y軸的負半軸上時，如圖4，
∵BC=2CA，
∴AB=CA，
在△ACH和△ABO中，$\left\{\begin{array}{l}{∠AHC=∠AOB}\\{∠BAO=∠CAH}\\{CA=AB}\end{array}\right.$
，∴△ACH≌△ABO（AAS），
∴OB=CH=b，OA=AH=$\frac{1}{2}$a，
∴OA•OB=$\frac{1}{2}$a•b=$\frac{3}{2}$，
∵∠APB是∠AOB的智慧角，
∴OP=$\sqrt{OA•OB}$=$\frac{\sqrt{6}}{2}$，
∵∠AOB=90°，OP平分∠AOB，
∴點P到x，y軸的距離相等為$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴點P的坐標為：（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，-$\frac{\sqrt{3}}{2}$）；
綜上所述：點P的坐標為：（$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，$\frac{3\sqrt{3}}{2}$），或（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，-$\frac{\sqrt{3}}{2}$）．

點評 此題是反比例函數綜合題，主要考查了角平分線的性質、相似三角形的判定與性質、新定義以及運用、全等三角形的判定與性質等知識；本題難度較大，綜合性強，特別是（3）中，需要通過作輔助線進行分類討論，證明三角形相似和三角形全等才能得出結果．