Question

2．如圖，點A為線段DE上一點，AB=AC=$\sqrt{7}$，∠D=∠BAC=2∠E=120°，若AE-BD=BD-CE=1cm，則△ACE的面積=$\frac{3\sqrt{3}}{4}$cm²．

Answer 1

分析 作∠AFC=∠D=120°，則∠EFC=60°，由三角形的外角性質得出∠B=∠CAF，∠E=60°，由AAS證明△AFC≌△BDA，得出AF=BD，證明△CEF是等邊三角形，得出CE=CF=EF=1cm，求出AF=BD=2cm，得出AE=AF+EF=3cm，作CM⊥AE于M，由等邊三角形的性質和勾股定理求出CM=$\sqrt{3}$EM=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，即可求出△ACE的面積．

解答 解：作∠AFC=∠D=120°，如圖所示：
則∠EFC=60°，
∵∠BAF=∠BAC+∠CAF=∠D+∠B，∠D=∠BAC=2∠E=120°，
∴∠B=∠CAF，∠E=60°，
在△AFC和△BDA中，$\left\{\begin{array}{l}{∠CAF=∠B}&{\;}\\{∠AFC=∠D}&{\;}\\{AC=AB}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△AFC≌△BDA（AAS），
∴AF=BD，
∴AE-BD=AE-AF=EF=1nm，
∵∠EFC=∠E=60°，
∴△CEF是等邊三角形，
∴CE=CF=EF=1cm，
∴AE-BD=BD-CE=1cm，
∴AF=BD=2cm，
∴AE=AF+EF=3cm，
作CM⊥AE于M，
∵△EFC是等邊三角形，
∴EM=$\frac{1}{2}$EF=$\frac{1}{2}$，
∴CM=$\sqrt{3}$EM=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴△ACE的面積=$\frac{1}{2}$×3×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{3\sqrt{3}}{4}$（cm²）；
故答案為：$\frac{3\sqrt{3}}{4}$．

點評 本題考查了全等三角形的判定與性質、等邊三角形的判定與性質以及三角形面積的計算；通過作輔助線構造全等三角形是解決問題的關鍵．