Question

【題目】定義：按螺旋式分別延長n邊形的n條邊至一點，若順次連接這些點所得的圖形與原多邊形相似，則稱它為原圖形的螺旋相似圖形．例如：如圖1，分別延長多邊形A1A2…An的邊得A1′，A2′，…，An′，若多邊形A1′A2′…An′與多邊形A1A2…An相似，則多邊形A1′A2′…An′就是A1A2…An的螺旋相似圖形．

（1）如圖2，已知△ABC是等邊三角形，作出△ABC的一個螺旋相似圖形，簡述作法，并給以證明．

（2）如圖3，已知矩形ABCD，請探索矩形ABCD是否存在螺旋相似圖形，若存在，求出此時AB與BC的比值；若不存在，說明理由．

（3）如圖4，△ABC是等腰直角三角形，AC＝BC＝2，分別延長CA，AB，BC至A′，B′，C′，使△A′B′C′是△ABC的螺旋相似三角形．若AA′＝kAC，請直接寫出BB′，CC′的長（用含k的代數式表示）

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）AB：BC＝1；（3）BB′＝k，CC′＝k．

【解析】

（1）如圖2中，延長AB到E，延長BC到F，延長CA到D，使得BE＝CF＝AD，連接EF，DF，DE．則△DEF是△ABC的一個螺旋相似圖形，證明△DEF是等邊三角形即可解決問題．

（2）如圖3中，假設存在．四邊形EFGH是矩形ABCD的螺旋相似圖形，設AB＝CD＝a，BC＝AD＝b，BE＝DG＝x，CF＝AH＝y．分兩種情形，利用相似三角形的性質以及相似矩形的性質，構建關系式證明a＝b即可解決問題．

（3）如圖4中，作B′T⊥CB交CB的延長線于T．設TB＝TB′＝m，證明△A′CC′≌△A′TB′（ASA），推出A′C＝TC′，CC′＝TB′＝BT，構建關系式推出m＝k即可解決問題．

解：（1）如圖2中，延長AB到E，延長BC到F，延長CA到D，使得BE＝CF＝AD，連接EF，DF，DE．則△DEF是△ABC的一個螺旋相似圖形．

理由：∵△ABC是等邊三角形，

∴AB＝BC＝AC，∠CAB＝∠ABC＝∠ACB，

∴∠DAE＝∠FCD＝∠EBF＝120°，

∵BE＝CF＝AD，

∴CD＝AE＝BF，

∴△FCD≌△DAE≌△EBF（SAS），

∴DF＝DE＝EF，

∴△DEF是等邊三角形，

∴△DEF∽△ABC，

∴△DEF是△ABC的一個螺旋相似圖形．

（2）如圖3中，假設存在．四邊形EFGH是矩形ABCD的螺旋相似圖形，設AB＝CD＝a，BC＝AD＝b，BE＝DG＝x，CF＝AH＝y．

由題意：△BEF∽△AHE，

∴＝＝，

∴＝，

當＝＝時，＝＝，

∴x＝y，ax+x2＝by+y2，

∴by+y2＝by+y2，

∴a2＝b2，

∴a＝b，即AB：BC＝1．

當＝＝時．＝＝，

∴x＝y，ax+x2＝by+y2，

∴y+y2＝by+y2，

∴y（1+）＝0，

∵y≠0，1+≠0，

∴a2＝b2，

∴a＝b，即AB：BC＝1，

綜上所述，AB：BC＝1．

（3）如圖4中，作B′T⊥CB交CB的延長線于T．

∵AC＝BC＝2，∠ACB＝90°，

∴∠ABC＝∠CAB＝45°，

∴∠TBB′＝∠ABC＝45°，

∴∠TB′B＝∠TBB′＝45°，

∴TB＝TB′，設TB＝TB′＝m，

∵△A′B′C′是△ABC的螺旋相似三角形，

∴A′C′＝B′C′，∠A′C′B′/span>＝90°，

∵∠A′C′C+∠B′C′＝90°，∠A′CC+∠C′A′C＝90°，

∴∠C′A′C＝∠B′C′T，

∵∠A′CC′＝∠T＝90°，

∴△A′CC′≌△A′TB′（ASA），

∴A′C＝TC′，CC′＝TB′＝BT，

∴2+2k＝2+2m，

∴m＝k，

∴BB′＝k，CC′＝k．