Question

【題目】已知：把Rt△ABC和Rt△DEF按如圖甲擺放（點C與點E重合），點B、C（E）、F在同一條直線上．∠BAC=∠DEF=90°，∠ABC=45°，BC=9cm，DE=6cm，EF=8cm．如圖乙，△DEF從圖甲的位置出發，以1cm/s的速度沿CB向△ABC勻速移動，在△DEF移動的同時，點P從△DEF的頂點F出發，以3cm/s的速度沿FD向點D勻速移動．當點P移動到點D時，P點停止移動，△DEF也隨之停止移動．DE與AC相交于點Q，連接BQ、PQ，設移動時間為t（s）．解答下列問題：

（1）設三角形BQE的面積為y（cm2），求y與t之間的函數關系式，并寫出自變量t的取值范圍；

（2）當t為何值時，三角形DPQ為等腰三角形？

（3）是否存在某一時刻t，使P、Q、B三點在同一條直線上？若存在，求出此時t的值；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】（1）（）；（2）見解析；（3）當s，點P、Q、B三點在同一條直線上．

【解析】

試題分析：（1）在Rt△DEF中由勾股定理可以得到DF=10．同理，在Rt△ABC中，∠ABC=45°，所以△ABC為等腰直角三角形；由DE⊥BC，∠ACB=45°，知△QEC也是等腰直角三角形，所以，QE=CE=t，則BE=BC﹣CE=9﹣t；則△BQE的面積y=BEQE（0＜t≤）；

（2）在Rt△DEF中，DE=6，DF=10，所以，cos∠D=，sin∠D=；在Rt△PDG中，通過sin∠D求得PG、cos∠D解得DG，

那么GQ=DQ﹣DG；在Rt△PGQ中，利用勾股定理，求得PQ2．若△DPQ為等腰三角形時，分三種情況：①若DP=DQ；②若DP=PQ；③當DQ=PQ時；

（3）①當t=0時，點B、P、Q在同一條直線上；

②當B、Q、P在同一直線上時，過點P作DE的垂線，垂足為G，則PG∥BE，△DPG∽△DFE；然后由相似三角形的對應邊成比例求得 PG、DG的值，而DQ=6﹣t，所以求得GQ=DQ﹣DG的值，根據平行線的判定定理知GP∥BE，可證△GPQ∽△QBE，所以，

GP：BE=GQ：EQ，從而解得t=，點B、Q、P在同一直線上．

解：（1）∠ACB=45°，∠DEF=90°，

∴∠EQC=45°．

∴EC=EQ=t，

∴BE=9﹣t．

∴，

即：（）

（2）①當DQ=DP時，∴6﹣t=10﹣3t，解得：t=2s．

②當PQ=PD時，過P作PH⊥DQ，交DE于點H，

則DH=HQ=，由HP∥EF，

∴則，解得s

③當QP=QD時，過Q作QG⊥DP，交DP于點G，

則GD=GP=，可得：△DQG∽△DFE，

∴，則，

解得s

（3）假設存在某一時刻t，

使點P、Q、B三點在同一條直線上．

則，過P作PI⊥BF，交BF于點I，

∴PI∥DE，

于是：，

∴，，

∴，則，

解得：s．

答：當s，點P、Q、B三點在同一條直線上．