Question

【題目】已知是一張直角三角形紙片，其中，，小亮將它繞點逆時針旋轉后得到，交直線于點.

（1）如圖1，當時，所在直線與線段有怎樣的位置關系？請說明理由.

（2）如圖2，當，求為等腰三角形時的度數.

Answer 1

【答案】（1）BD與FM互相垂直，理由見解析；（2）β的度數為30°或75°或120°．

【解析】

（1）由題意設直線BD與FM相交于點N，即可根據旋轉的性質判斷直線BD與線段MF垂直；

（2）根據旋轉的性質得∠MAD=β，分類討論：當KA=KD時，根據等腰三角形的性質得∠KAD=∠D=30°，即β=30°；當DK=DA時，根據等腰三角形的性質得∠DKA=∠DAK，然后根據三角形內角和可計算出∠DAK=75°，即β=75°；當AK=AD時，根據等腰三角形的性質得∠AKD=∠D=30°，然后根據三角形內角和可計算出∠KAD=120°，即β=120°．

解：（1）BD與FM互相垂直，理由如下

設此時直線BD與FM相交于點N

∵∠DAB=90°，∠D=30°

∴∠ABD=90°-∠D=60°，

∴∠NBM=∠ABD=60°

由旋轉的性質得△ADB≌△AMF,∴∠D=∠M=30°

∴∠MNB=180°-∠M-∠NBM=180°-30°- 60°= 90°

∴BD與FM互相垂直

（2）

當KA=KD時，則∠KAD=∠D=30°，即β=30°；

當DK=DA時，則∠DKA=∠DAK，

∵∠D=30°，∴∠DAK=（180°﹣30°）÷2=75°，即β=75°；

當AK=AD時，則∠AKD=∠D=30°，

∴∠KAD=180°﹣30°﹣30°=120°，即β=120°，

綜上所述，β的度數為30°或75°或120°．