Question

【題目】綜合探究

已知拋物線y＝ax2+x+4的對稱軸是直線x＝3，與x軸相交于A，B兩點（點B在點A右側），與y軸交于點C．

（1）求拋物線的解析式和A，B兩點的坐標；

（2）如圖1，若點P是拋物線上B、C兩點之間的一個動點（不與B、C重合），是否存在點P，使四邊形PBOC的面積最大？若存在，求點P的坐標及四邊形PBOC面積的最大值；若不存在，請說明理由；

（3）如圖2，若點M是拋物線上任意一點，過點M作y軸的平行線，交直線BC于點N，當MN＝3時，直接寫出點M的坐標．

Answer 1

【答案】（1）拋物線的解析式為：y＝﹣x2+x+4；點A的坐標為(﹣2，0)，點B的坐標為(8，0)（2）存在點P(4，6)，使得四邊形PBOC的面積最大；點P的坐標為(4，6)，四邊形PBOC面積的最大值為32（3）點M的坐標為(2，6)、(6，4)、(4﹣2，﹣1)或(4+2，﹣﹣1)

【解析】

（1）根據拋物線的對稱軸方程，即可得到a的值，從而得到函數解析式，進而求出A，B的值；

（2）根據待定系數法，求出直線BC的解析式，設點P的坐標為（x，﹣x2+x+4），過點P作PD∥y軸，交直線BC于點D，則點D的坐標為(x，﹣x+4)，進而求出PD的值，根據S四邊形PBOC＝S△BOC+S△PBC，得到二次函數解析式，即可得到答案；

（3）設點M的坐標為(m，﹣m2+m+4)，則點N的坐標為(m，﹣m+4)，則MN=|﹣m2+2m |，根據MN=3，列出關于m的方程，即可求解．

（1）∵ 拋物線的對稱軸是：直線x＝3，

∴ ＝3，解得：a＝﹣，

∴拋物線的解析式為：y＝﹣x2+x+4．

當y＝0時，﹣x2+x+4＝0，解得x1＝﹣2，x2＝8，

∴點A的坐標為(﹣2，0)，點B的坐標為(8，0)；

（2）當x＝0時，y＝﹣x2+x+4＝4，

∴點C的坐標為(0，4)．

設直線BC的解析式為：y＝kx+b（k≠0），

將B(8，0)，C(0，4)代入y＝kx+b得：，解得：，

∴直線BC的解析式為：y＝﹣x+4．

假設存在點P，使四邊形PBOC的面積最大，

設點P的坐標為（x，﹣x2+x+4），如圖1，

過點P作PD∥y軸，交直線BC于點D，則點D的坐標為(x，﹣x+4)，

∴PD＝﹣x2+x+4﹣(﹣x+4)＝﹣x2+2x，

∴S四邊形PBOC＝S△BOC+S△PBC＝×8×4+PDOB

＝16+×8(﹣x2+2x)＝﹣x2+8x+16

＝﹣（x﹣4）2+32

∴當x＝4時，四邊形PBOC的面積最大，最大值是32．

∵0＜x＜8，

∴存在點P(4，6)，使得四邊形PBOC的面積最大，四邊形PBOC面積的最大值為32．

（3）設點M的坐標為(m，﹣m2+m+4)，則點N的坐標為(m，﹣m+4)，如圖2，

∴MN＝|﹣m2+m+4﹣(﹣m+4)|＝|﹣m2+2m |，

又∵ MN＝3，

∴ |﹣m2+2m |＝3，

當0＜m＜8時，﹣m2+2m﹣3＝0，解得：m1＝2，m2＝6，

∴點M的坐標為(2，6)或(6，4)；

當m＜0或m＞8時，﹣m2+2m +3＝0，解得：m3＝4﹣2，m4＝4+2，

∴點M的坐標為(4﹣2，﹣1)或(4+2，﹣﹣1)．

答：點M的坐標為(2，6）、(6，4）、(4﹣2，﹣1）或(4+2，﹣﹣1）．