Question

【題目】已知：如圖，B,C,D三點在 上，，PA是鈍角△ABC的高線，PA的延長線與線段CD交于點E.

（1）請在圖中找出一個與∠CAP相等的角，這個角是 ；

（2）用等式表示線段AC，EC，ED之間的數量關系，并證明.

Answer 1

【答案】（1） ∠BAP；（2）AC，EC，ED滿足的數量關系：EC2+ED2=2AC2. 證明見解析.

【解析】

（1）根據等腰三角形ABC三線合一解答即可；

（2）連接EB，由PA是△CAB的垂直平分線，得到EC=EB.，∠ECP=∠EBP，∠ECA=∠EBA. 然后推出∠BAD=∠BED=90°，利用勾股定理可得EB2+ED2=BD2，找到BD2=2AB2,代入可求的EC2+ED2=2AC2的等量關系即可.

（1）∵等腰三角形ABC 且PA是鈍角△ABC的高線

∴PA是∠CAB的角平分線

∴∠CAP=∠BAP

（2）AC，EC，ED滿足的數量關系：EC2+ED2=2AC2.

證明：連接EB，與AD交于點F

∵點B，C兩點在⊙A上,

∴AC=AB，

∴∠ACP=∠ABP.

∵PA是鈍角△ABC的高線,

∴PA是△CAB的垂直平分線.

∵PA的延長線與線段CD交于點E，

∴EC=EB.

∴∠ECP=∠EBP.

∴∠ECP—∠ACP =∠EBP —∠ABP.

即∠ECA=∠EBA.

∵AC=AD，

∴∠ECA=∠EDA

∴∠EBA=∠EDA

∵∠AFB=∠EFD, ∠BCD=45°,

∴∠AFB+∠EBA =∠EFD+∠EDA=90°

即∠BAD=∠BED=90°

∴EB2+ED2=BD2.

∵BD2=AB2+AD2，

∴ BD2=2AB2,

∴EB2+ED2=2AB2，

∴EC2+ED2=2AC2