Question

【題目】已知在Rt△ABC中，∠ACB=90°，現按如下步驟作圖：
①分別以A，C為圓心，a為半徑（a＞ AC）作弧，兩弧分別交于M，N兩點；
②過M，N兩點作直線MN交AB于點D，交AC于點E；
③將△ADE繞點E順時針旋轉180°，設點D的像為點F．

（1）請在圖中直線標出點F并連接CF；
（2）求證：四邊形BCFD是平行四邊形；
（3）當∠B為多少度時，四邊形BCFD是菱形．

Answer 1

【答案】
（1）解：如圖所示：

（2）解：∵根據作圖可知：MN垂直平分線段AC，

∴D、E為線段AB和AC的中點，

∴DE是△ABC的中位線，

∴DE= BC，

∵將△ADE繞點E順時針旋轉180°，點D的像為點F，

∴EF=ED，

∴DF=BC，

∵DE∥BC，

∴四邊形BCFD是平行四邊形

（3）解：當∠B=60°時，四邊形BCFD是菱形；

∵∠B=60°，

∴BC= AB，

∵DB= AB，

∴DB=CB，

∵四邊形BCFD是平行四邊形，

∴四邊形BCFD是菱形

【解析】（1）根據題意作出圖形即可；（2）首先根據作圖得到MN是AC的垂直平分線，然后得到DE等于BC的一半，從而得到DE=EF，即DF=BC，然后利用一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形進行判定即可；（3）得到BD=CB后利用鄰邊相等的平行四邊形是菱形進行判定即可．
【考點精析】通過靈活運用平行四邊形的判定和菱形的判定方法，掌握兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形：兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形；一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形；兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形；對角線互相平分的四邊形是平行四邊形；任意一個四邊形，四邊相等成菱形；四邊形的對角線，垂直互分是菱形．已知平行四邊形，鄰邊相等叫菱形；兩對角線若垂直，順理成章為菱形即可以解答此題．